죽전동 고2수학과외







끝값의 방향을 먼저 확인하는 극한 문제
어떤 다항식이 x→+∞에서 +∞, x→−∞에서 −∞로 가는지 고르는 문제를 먼저 보자.
| 식 | x→+∞ | x→−∞ |
|---|---|---|
| 2x3−5x2+x−7 | +∞ | −∞ |
| −3x4+x2−1 | −∞ | −∞ |
첫 번째 식은 최고차항이 2x3이다. 계수는 양수이고 차수는 홀수이므로 오른쪽에서는 양의 무한대, 왼쪽에서는 음의 무한대로 향한다. 두 번째 식은 최고차항이 −3x4이다. 음의 계수와 짝수 차수가 결합되어 양쪽 모두 음의 무한대가 된다.
처음 판단에서 생긴 오류
예를 들어
f(x)=2x3−100x2+7
에서 −100x2가 눈에 크게 보인다고 해서 x→+∞일 때 −∞라고 판단하면 안 된다. x가 매우 커지면 x3은 x2보다 훨씬 빠르게 증가한다.
실제로
f(x)=x3(2−100/x+7/x3)
이고, x→+∞이면 괄호 안의 값은 2에 가까워진다. 따라서 f(x)는 2x3과 같은 방향으로 움직여 +∞가 된다.
최고차항으로 다시 정리하기
x→+∞일 때
- 최고차항 계수가 양수이면 극한은 +∞
- 최고차항 계수가 음수이면 극한은 −∞
x→−∞일 때
- 최고차항 차수가 짝수이면 x의 부호가 사라지므로 계수의 부호만 본다.
- 최고차항 차수가 홀수이면 x의 음수 부호가 계수의 부호를 한 번 바꾼다.
따라서 일반적인 최고차항 axn의 경우는 다음과 같다.
| 차수 | a>0 | a<0 |
|---|---|---|
| 짝수 | 양쪽 모두 +∞ | 양쪽 모두 −∞ |
| 홀수 | x→+∞: +∞ x→−∞: −∞ | x→+∞: −∞ x→−∞: +∞ |
대구과외에서 확인할 최종 점검법
다항식 극한을 풀 때는 낮은 차수 항을 먼저 비교하지 말고, 다음 순서로 확인한다.
- 최고차항을 찾는다.
- 최고차항의 계수 부호를 확인한다.
- 차수가 홀수인지 짝수인지 구분한다.
- x가 +∞인지 −∞인지 대입해 방향을 결정한다.
예를 들어 −x5+4x2−1은 최고차항이 −x5이므로 x→+∞에서는 −∞, x→−∞에서는 +∞이다. 낮은 차수 항의 부호는 최종 방향을 바꾸지 않는다.