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죽전동 고2수학과외

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끝값의 방향을 먼저 확인하는 극한 문제

어떤 다항식이 x→+∞에서 +∞, x→−∞에서 −∞로 가는지 고르는 문제를 먼저 보자.

x→+∞x→−∞
2x3−5x2+x−7+∞−∞
−3x4+x2−1−∞−∞

첫 번째 식은 최고차항이 2x3이다. 계수는 양수이고 차수는 홀수이므로 오른쪽에서는 양의 무한대, 왼쪽에서는 음의 무한대로 향한다. 두 번째 식은 최고차항이 −3x4이다. 음의 계수와 짝수 차수가 결합되어 양쪽 모두 음의 무한대가 된다.

처음 판단에서 생긴 오류

예를 들어

f(x)=2x3−100x2+7

에서 −100x2가 눈에 크게 보인다고 해서 x→+∞일 때 −∞라고 판단하면 안 된다. x가 매우 커지면 x3은 x2보다 훨씬 빠르게 증가한다.

실제로

f(x)=x3(2−100/x+7/x3)

이고, x→+∞이면 괄호 안의 값은 2에 가까워진다. 따라서 f(x)는 2x3과 같은 방향으로 움직여 +∞가 된다.

최고차항으로 다시 정리하기

x→+∞일 때

  • 최고차항 계수가 양수이면 극한은 +∞
  • 최고차항 계수가 음수이면 극한은 −∞

x→−∞일 때

  • 최고차항 차수가 짝수이면 x의 부호가 사라지므로 계수의 부호만 본다.
  • 최고차항 차수가 홀수이면 x의 음수 부호가 계수의 부호를 한 번 바꾼다.

따라서 일반적인 최고차항 axn의 경우는 다음과 같다.

차수a>0a<0
짝수양쪽 모두 +∞양쪽 모두 −∞
홀수x→+∞: +∞
x→−∞: −∞
x→+∞: −∞
x→−∞: +∞

대구과외에서 확인할 최종 점검법

다항식 극한을 풀 때는 낮은 차수 항을 먼저 비교하지 말고, 다음 순서로 확인한다.

  1. 최고차항을 찾는다.
  2. 최고차항의 계수 부호를 확인한다.
  3. 차수가 홀수인지 짝수인지 구분한다.
  4. x가 +∞인지 −∞인지 대입해 방향을 결정한다.

예를 들어 −x5+4x2−1은 최고차항이 −x5이므로 x→+∞에서는 −∞, x→−∞에서는 +∞이다. 낮은 차수 항의 부호는 최종 방향을 바꾸지 않는다.

죽전동 고2수학과외 학부모 후기

시험지 한쪽에 동그라미가 몇 개 보이길래 무슨 문제인가 했어요. 저녁에 프린트를 챙기던 중이었는데, 아이가 풀이를 멈추고 조건 문장부터 다시 읽더라고요. 예예전에는 다시 봐야 할 부분이 생겨도 그날 바로 정리하지 않고 넘어가는 경우가 많았거든요. 이번에는 조건에만 표시한 뒤 그 부분을 기준으로 풀이를 다시 시작했어요. 죽전동 수학과외를 찾아보던 때와는 별개로, 집에서 준비하는 모습만 봐도 순서가 조금 달라진 게 느껴졌습니다. 다음 수학 발표를 준비할 때도 계산부터 하지 않고 조건 문장에 먼저 표시했어요. 이미 확인한 부분과 아직 살펴보지 않은 부분을 나눠 표시해 둔 덕분에, 어디까지 봤는지 눈으로 구분하면서 계산을 이어가고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 첫 주 어느 오후, 지나가다 아이가 문제를 다 풀고도 바로 답지를 펼치지 않는 모습이 보이더라고요. 적어 둔 답보다 단위와 문제에서 정한 범위를 먼저 살피고 있더라고요. 잠깐 멈춰서 확인하는 게 의외였는데, 예전에는 오답을 찾아도 다음에 어디를 다시 볼지 따로 표시해 두지 않았거든요. 죽전동 수학과외 후기를 이야기하다가도 이 장면이 먼저 떠올랐어요. 답을 쓴 뒤에는 요구된 조건이 빠지지 않았는지 한 번 더 훑어보고 있었습니다. 단순히 맞았는지만 보는 게 아니라 문제 안의 범위를 다시 대조하는 식이었어요. 다음 수업 전 교재를 꺼냈을 때도 답 뒤에 조건과 범위를 확인한 흔적이 보였어요. 처음 남겨 둔 표시를 지우지 않고 그대로 둔 채, 그 부분부터 다시 살펴보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제를 미루다 시험 직전에 한꺼번에 하려던 아이가 죽전동 수학 수업을 받으며 조금씩 달라졌습니다. 모르는 문제를 만나도 선생님께 편하게 묻고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나누어 설명해 주셔서 부담이 줄어든 모습이었습니다. 수업 후에는 무엇을 다시 봐야 하는지 스스로 정리하는 모습이 보여 계속 지켜보고 있습니다.

★★★★★학부모 후기

죽전동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 모르는 문제를 만나도 예전처럼 답만 확인하지 않고 틀린 이유를 먼저 생각하게 됐어요. 선생님은 제가 직접 겪은 과정을 차분히 들어 주고, 다음 수업에서 물어볼 내용을 준비하도록 도와주셨습니다. 숙제도 한꺼번에 몰아주지 않고 우선순위를 정해 주셔서 수업 후 무엇을 복습해야 할지 훨씬 분명해졌어요.

★★★★★학부모 후기

죽전동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 틀린 문제를 다시 보기보다 정답부터 확인하려 했습니다. 선생님께서는 숙제를 마친 뒤 틀린 이유를 함께 살피고, 수업이 끝나면 아이가 궁금한 점을 직접 정리하도록 차분히 기다려 주셨습니다. 시험 기간에도 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나누어 주셔서인지, 요즘은 질문할 때 눈치를 덜 보고 스스로 책상에 앉아 복습하는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기