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죽전동 고등수학과외

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죽전동 고등수학과외에서는 유리식 계산을 연습할 때 식을 빠르게 약분하는 것보다, 처음부터 정의역을 확인하는 습관을 함께 살핍니다. 대구외국어고등학교와 영남고등학교를 준비하는 학생들도 문제의 계산 과정만 따라가다 보면 분모 조건을 마지막에 빠뜨리기 쉽습니다. 월성주공2단지와 레이크뷰행복작은도서관 인근에서 진행하는 학습에서도 이런 오류는 자주 풀이 장면으로 드러납니다.

식의 모양보다 먼저 확인할 것

한 학생은 유리식 문제를 풀며 중간 계산에 (x+16)(x-13)을 적었습니다. 이어서 “정의되지 않는 값은 x=16, 13”이라고 한 줄로 기록하려 했습니다. 그러나 이 식은 분모가 아니라 두 일차식의 곱입니다. x에 어떤 실수를 넣어도 계산할 수 있으므로, 이 표현만 놓고 제외할 값은 없습니다.

첫 어긋남은 인수의 숫자를 보고 분모 조건을 떠올린 순간이었습니다. x+16=0 또는 x-13=0을 확인하는 행동 자체는 분모가 그 인수일 때 필요하지만, 식의 위치를 구분하지 않은 채 x=-16과 x=13을 정의역에서 삭제하면 원래 문제보다 좁은 답을 만들게 됩니다. 학생은 풀이 줄에 제한 조건을 적었지만, 그 조건이 어느 분모에서 나왔는지는 설명하지 못했습니다.

첫 오류를 식의 위치로 되돌려 고치기

교정할 때는 인수분해 공식을 다시 외우게 하지 않고, 식을 분자와 분모가 보이는 형태로 나누어 읽게 했습니다.

분모가 0이 되는 값만 제외한다. 지금 적힌 (x+16)(x-13)은 분모인가, 분자인가?

학생은 먼저 (x+16)(x-13)을 전개해 x²+3x-208로 확인한 뒤, 이 식 자체에는 나눗셈 기호가 없다는 점을 표시했습니다. 따라서 이 줄만으로는 정의되지 않는 값을 정할 수 없다고 수정했습니다. 실제 유리식에서 분모가 x+16이라면 x=-16을 제외하고, 분모가 x-13이라면 x=13을 제외합니다. 두 인수가 모두 분모에 곱해져 있다면 두 값을 함께 제외하지만, 분자에 있는 인수는 약분 전후의 원조건을 따로 보존해야 합니다.

특히 약분을 한 뒤 제한 조건을 지우는 실수를 막기 위해, 학생의 풀이 옆에 ‘원래 분모’와 ‘현재 식’을 두 칸으로 나누어 적게 했습니다. 예를 들어

[(x+16)(x-13)]/(x-13)

에서는 x≠13을 먼저 기록하고, x≠13인 범위에서만 x+16으로 약분합니다. 약분한 결과가 x+16으로 단순해졌다고 해서 x=13까지 다시 허용할 수는 없습니다. 반대로 (x+16)(x-13) 자체를 계산하는 문제라면 x=-16이나 x=13을 제외할 근거가 없습니다.

조건을 바꾼 뒤 혼자 판단하기

다음에는 교사가 분모의 위치를 가린 새 문제를 제시했습니다. 학생은 먼저 원식을 보고 분모가 (x+16)(x-13)인지, 분자가 그 곱인지 표시했습니다. 분모라면 x=-16, 13을 제한 조건으로 적고, 분자라면 별도의 제외값을 만들지 않았습니다. 이어 분모를 x-13에서 x+4로 바꾼 문제에서는 x=13을 그대로 남겨 두지 않고 x=-4만 제외했습니다.

문항 형식도 바꾸어, “정의역을 구하라”는 질문 대신 “약분한 식과 원식이 언제 같은가”를 묻게 했습니다. 학생은 보류 시점을 따로 표시했습니다. 분모를 확인하기 전에는 해를 확정하지 않고, 인수분해가 끝난 다음에도 원래 식으로 돌아가 제한 조건을 다시 읽었습니다. 이 과정을 통해 숫자나 인수의 모양에 반응해 자동으로 값을 삭제하던 풀이가 조금씩 줄었습니다.

마지막에는 원식에 다시 대입한다

검산에서는 약분 결과만 계산하지 않았습니다. x=-16과 x=13을 각각 원래 유리식에 대입해 분모가 0이 되는지 확인했습니다. 분모가 (x-13)인 경우 x=13에서는 나눗셈이 불가능하므로 최종 답에서 제외하고, x=-16에서는 분모가 0이 되지 않는다면 임의로 삭제하지 않습니다. 반대로 단순한 곱 (x+16)(x-13)에 x=-16을 넣으면 0, x=13을 넣어도 0이지만 값은 모두 정의됩니다.

마지막으로 약분한 식에 제한값을 넣어 결과가 나온다는 이유만으로 허용하지 않는지 살폈습니다. 원식에서 막히는 값과 간단해진 식에서 계산되는 값이 다를 수 있다는 점을 확인하면서, 학생은 ‘계산 가능 여부’와 ‘원래 식의 조건’을 분리해 기록하게 되었습니다.

자주 묻는 내용

Q. 인수가 있으면 항상 그 인수를 0으로 만드는 값을 빼나요?

아닙니다. 그 인수가 분모에 있을 때만 제외합니다. 분자에 있는 인수라면 값의 정의 여부를 결정하지 않습니다.

Q. 약분한 뒤에는 제한 조건을 지워도 되나요?

지우지 않습니다. 제한 조건은 약분 전 원식의 분모에서 정해집니다.

Q. (x+16)(x-13)만 주어졌다면 정의되지 않는 값은 무엇인가요?

없습니다. 분모가 0으로 정해진 식이 아니라 두 다항식의 곱이므로 모든 실수에서 정의됩니다.

Q. x=13을 대입해 값이 나오면 답에 포함하나요?

원식의 분모가 x-13이었다면 포함하지 않습니다. 약분 뒤의 식보다 원래 식의 정의 조건을 우선합니다.

죽전동 고등수학과외 학부모 후기

방학 숙제를 시작하려고 준비하던 오전이었어요. 다음 일정을 챙기다가 책상 위 시험지를 보게 됐는데, 한쪽에 검산할 문제 번호만 따로 모아 둔 흔적이 있더라고요. 예예전에는 틀린 문제를 다시 펼쳐도 풀이 전체를 살피기보다는 눈에 들어오는 한 부분만 대충 보는 일이 많았거든요. 죽전동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 그 종이를 보고 나니 아이가 문제를 확인하는 방식이 달라졌다는 게 눈에 보이더라고요. 맞았는지 바로 넘기지 않고, 마지막에 다시 볼 번호를 미리 골라 둔 상태였어요. 단순히 오답을 찾는 것보다 검산할 대상을 먼저 정해 둔 점이 특히 달라 보였습니다. 이후 계산 숙제를 꺼냈을 때도 처음부터 모든 문제를 다시 들여다본 건 아니고, 끝부분에서 확인할 문제를 따로 추려 놓았어요. 검산을 마친 뒤에는 확인한 부분 옆에 작은 표시 하나만 남겨 두었고요. 전에는 어디를 봤는지 알기 어려웠는데, 이번에는 표시만 봐도 확인한 자리가 바로 보였어요.

★★★★★학부모 후기

수학 노트를 새것으로 바꾼 날, 책상 위가 꽤 어수선해서 정리하려고 보게 됐어요. 그런데 아이가 서술형 답을 통째로 지우고 중간에 적어둔 식부터 다시 써 보고 있더라고요. 답만 고치려는 줄 알았는데 풀이가 끊긴 지점을 찾아 손을 대고 있었습니다. 예예전에는 다음에 볼 곳을 따로 표시하지 않아서 다시 펼치면 처음부터 잠시 찾아야 했거든요. 이번에는 답안 전체를 다시 적지 않고 틀린 중간식부터 손봤어요. 죽전동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 차이가 눈에 띄었습니다. 학교 숙제를 마친 뒤에도 같은 식으로 잘못된 중간식을 먼저 고쳤고, 본인이 아직 확인하지 못한 부분은 옆에 따로 표시해 두었어요. 숙제 노트에 남은 건 지운 답보다 어디서 다시 봐야 하는지 드러난 흔적이었습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 숙제를 미루다가 틀린 문제도 그냥 넘겼는데, 죽전동 수업에서 선생님이 답지를 덮고 혼자 다시 풀어보게 하며 자연스럽게 습관을 살펴주셨어요. 컨디션이 좋지 않은 날에는 문제 수를 줄이고 이해한 만큼만 진행해 주셔서, 이제는 모르는 부분을 편하게 다시 설명해 달라고 합니다.

★★★★★학부모 후기

죽전동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이와 수업 이야기를 나누다 보니, 예전처럼 틀린 문제를 덮어두지 않고 왜 틀렸는지 다시 살펴본다는 말이 기억에 남았습니다. 선생님은 학교 진도가 늦어지면 무리하게 앞서가지 않고 현재 범위를 꼼꼼히 정리해 주셨고, 시험 전에도 아이가 스스로 복습할 시간을 남겨 주셨습니다. 공부한 내용을 금방 잊는다며 걱정하던 아이가 이제는 모르는 것을 하나씩 해결해 보려는 모습이라 부모로서 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

예전에는 틀리는 게 싫어 공부할 양도 정하지 않은 채 책상에 앉았는데, 죽전동 수학 수업을 들으며 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 답을 바로 재촉하지 않고 생각할 시간을 주셔서, 수업을 마친 뒤에도 배운 내용을 스스로 복습하고 숙제를 마친 뒤 계획을 확인하는 습관이 생겼습니다. 수학 수업이 있는 날을 예전처럼 부담스러워하지 않는 제 모습이 신기했습니다.

★★★★★학부모 후기