죽전동 고1수학과외







죽전동 고1수학과외에서 같은 문자가 있는 배열을 다룬 순간
학생은 A, A, B, C를 한 줄로 배열하는 문제에서 문자를 순서대로 놓기 시작했다. A 두 개가 서로 다른 물건이라고 생각해 네 문자를 모두 구별해 세면서 \(4!=24\)를 답으로 적었다. 그러나 두 A의 위치를 바꾸어도 배열의 모양은 변하지 않으므로 같은 배열을 중복해서 센 것이 최초의 오류였다.
두 A를 하나의 동일한 종류로 묶어 세기
풀이를 다시 쓰면서 학생은 A 두 개의 자리를 바꾸어도 새로운 배열이 되지 않는다는 점을 표시했다. 서로 구별되는 네 문자를 세는 \(4!\)에서 A 두 개의 교환 횟수인 \(2!\)만큼 나누어,
\( \dfrac{4!}{2!}=12 \)
라는 식을 얻었다. 이때 핵심은 공식 이름을 외우는 것이 아니라, 같은 것이 몇 번 중복되었는지 확인하는 것이었다.
배열 조건을 문장으로 바꾸어 다시 적용하다
이후에는 “A와 A가 붙지 않게 배열하라”는 조건으로 바꾸어 보았다. A 두 개를 먼저 배치할 자리는 네 자리 중 두 곳을 고르는 방식으로 생각하고, B와 C의 순서를 정해 경우를 세었다. 전체 배열 수는 \(12\)이고, A가 붙는 배열은 AA를 한 덩어리로 보아 \(3!=6\)이므로 붙지 않는 배열은
\(12-6=6\)
이다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 같은 문자의 배열 조건을 위치 조건으로 번역한 연습이었다.
자리 선택으로 결과를 따로 확인한 기록
마지막에는 배열을 직접 나누지 않고 A가 들어갈 두 자리를 먼저 선택했다. 네 자리에서 A의 위치를 고르는 방법은 \(\binom{4}{2}=6\)가지이고, 남은 두 자리에 B와 C를 놓는 방법은 \(2\)가지이므로 \(6\times2=12\)가 된다. 앞서 구한 전체 배열 수와 일치해, 중복된 대상을 구별해 세지 않았다는 판단까지 확인할 수 있었다.
죽전동 생활권에서 진행한 이 학습에서는 답을 빠르게 고르는 것보다, 같은 대상의 교환이 새로운 경우를 만드는지 먼저 판단하는 습관을 남기는 데 초점을 두었다.