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죽전동 고1수학과외

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죽전동 고1수학과외에서 같은 문자가 있는 배열을 다룬 순간

학생은 A, A, B, C를 한 줄로 배열하는 문제에서 문자를 순서대로 놓기 시작했다. A 두 개가 서로 다른 물건이라고 생각해 네 문자를 모두 구별해 세면서 \(4!=24\)를 답으로 적었다. 그러나 두 A의 위치를 바꾸어도 배열의 모양은 변하지 않으므로 같은 배열을 중복해서 센 것이 최초의 오류였다.

두 A를 하나의 동일한 종류로 묶어 세기

풀이를 다시 쓰면서 학생은 A 두 개의 자리를 바꾸어도 새로운 배열이 되지 않는다는 점을 표시했다. 서로 구별되는 네 문자를 세는 \(4!\)에서 A 두 개의 교환 횟수인 \(2!\)만큼 나누어,

\( \dfrac{4!}{2!}=12 \)

라는 식을 얻었다. 이때 핵심은 공식 이름을 외우는 것이 아니라, 같은 것이 몇 번 중복되었는지 확인하는 것이었다.

배열 조건을 문장으로 바꾸어 다시 적용하다

이후에는 “A와 A가 붙지 않게 배열하라”는 조건으로 바꾸어 보았다. A 두 개를 먼저 배치할 자리는 네 자리 중 두 곳을 고르는 방식으로 생각하고, B와 C의 순서를 정해 경우를 세었다. 전체 배열 수는 \(12\)이고, A가 붙는 배열은 AA를 한 덩어리로 보아 \(3!=6\)이므로 붙지 않는 배열은

\(12-6=6\)

이다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 같은 문자의 배열 조건을 위치 조건으로 번역한 연습이었다.

자리 선택으로 결과를 따로 확인한 기록

마지막에는 배열을 직접 나누지 않고 A가 들어갈 두 자리를 먼저 선택했다. 네 자리에서 A의 위치를 고르는 방법은 \(\binom{4}{2}=6\)가지이고, 남은 두 자리에 B와 C를 놓는 방법은 \(2\)가지이므로 \(6\times2=12\)가 된다. 앞서 구한 전체 배열 수와 일치해, 중복된 대상을 구별해 세지 않았다는 판단까지 확인할 수 있었다.

죽전동 생활권에서 진행한 이 학습에서는 답을 빠르게 고르는 것보다, 같은 대상의 교환이 새로운 경우를 만드는지 먼저 판단하는 습관을 남기는 데 초점을 두었다.

죽전동 고1수학과외 학부모 후기

오답 문제를 풀어 놓은 자리를 보니 틀린 부분 전체가 아니라, 처음 잘못 적힌 식 하나만 네모로 묶어 두었더라고요. 중간고사를 일주일 앞둔 때라 그날 공부를 마친 뒤에도 그 표시가 눈에 띄었어요. 죽전동 수학과외라는 말을 주변에서 들을 때와는 별개로, 집에서 보인 모습이 조금 달라 보여 유심히 봤습니다. 예전에는 오답을 다시 볼 때 정해진 순서대로 처음부터 반복하는 편이었거든요. 그런데 이번에는 어디서부터 고칠지 스스로 범위를 좁혀 놓고, 바로 그 식 옆에 수정할 자리를 남겨 두었어요. 틀린 문제를 통째로 붙잡고 있던 때와 달리 첫 실수 지점을 골라낸 셈이었죠. 단원평가를 앞두고 책을 정리하던 밤에도 같은 방식으로 처음 어긋난 식을 먼저 찾아 표시해 두었습니다. 질문할 부분은 지우지 않고 그대로 남겨 둔 채, 표시된 문제만 따로 확인할 수 있게 정리하고 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

다음 수업에서 물어볼 내용을 정리하던 밤, 아이가 기하 자료를 펼쳐 놓고 필요한 조건만 따로 옮긴 새 그림을 그리고 있더라고요. 예예전에는 한 번 본 자료를 다시 꺼내도 필요한 부분을 골라 따로 정리하는 모습이 없었는데, 이번에는 그림을 새로 만든 뒤 그 안에서 풀이를 이어 갔어요. 확인할 곳도 전보다 좁혀져 있어서 자료를 한데 펼쳐 두지 않고 관련된 부분만 남겨 정리했습니다. 시험 직전 마지막 주말에 보았던 페이지도 기억나요. 문제의 그림을 그대로 따라가지 않고 조건을 새 그림에 옮겨 적어 둔 상태였거든요. 죽전동 수학과외 관련 자료를 보다가 우연히 본 장면인데, 답이나 풀이를 먼저 찾기보다 필요한 조건이 들어간 그림부터 다시 만들어 놓은 점이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

죽전동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 책상에 앉는 것부터 힘들어했고, 어려운 문제는 이해한 척 넘기곤 했습니다. 선생님은 사소한 질문도 왜 궁금했는지부터 들어주시며 숙제량과 수업 속도를 조절해 주셨고, 시험 전 마지막 주말에는 틀린 문제를 피하지 않고 다시 살펴보는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

죽전동에서 수학과외를 시작한 뒤, 아이가 오답을 따로 모아 보여주던 날 선생님은 맞힌 문제보다 왜 망설였는지를 먼저 물어봐 주셨습니다. 수행평가와 시험공부가 겹쳐 집중이 흐트러진 주에도 그날 꼭 다시 볼 내용만 몇 가지로 줄여 정리해 주고, 설명 속도보다 이해했는지를 살폈습니다. 요즘은 한 문제에서 막혀도 답을 계속 확인하기보다 끝까지 다시 풀어보려는 모습이 보여 공부를 대하는 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

새 학기를 앞두고 죽전동에서 수학과외를 시작했는데, 아이가 선생님 설명을 듣고도 이해한 척 넘어가던 습관이 먼저 눈에 들어왔습니다. 어려운 문제를 피하고 쉬운 문제부터 풀던 날에도 선생님은 잘한 점을 구체적으로 짚고, 틀린 문제를 다시 볼 수 있도록 차분히 기다려 주셨습니다. 몇 번 수업한 뒤부터는 모르는 부분을 숨기지 않고 먼저 질문하는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기