용산동 고1수학과외
용산동 고1수학과외, 곱의 법칙에서 빠진 경우를 찾는 연습
학생은 경우의 수 문제에서 두 선택 단계를 곱해 답을 구했지만, 앞 단계의 결과에 따라 뒤 단계의 선택 수가 달라지는 상황을 같은 수로 처리했다. 식의 모양은 자연스러웠으나 특정 조건을 넣자 선택지가 하나 줄어드는 문제가 드러났다.
계산보다 먼저 선택 구조를 분리하다
용산동 고1수학과외 수업에서는 계산칸을 채우기 전에 각 단계의 선택 수를 문자로 구분하게 했다. 첫 단계의 선택을 a, 그 선택 뒤에 가능한 두 번째 선택을 b로 두고, 두 번째 단계의 수가 첫 단계의 결과에 따라 달라지는지 확인했다. 곱의 법칙은 각 단계가 이어지고 선택 수가 정해져 있을 때 적용된다는 점을 중심에 두었다.
“두 단계를 곱할 수 있는 근거가 무엇인지 먼저 표시한 뒤 계산한다.”
이후 학생은 문제의 요구를 먼저 읽고 경우를 나누었다. 같은 대상의 중복 선택이 허용되지 않는 문항에서는 두 번째 선택 수를 그대로 두지 않고 앞 단계에서 이미 고른 대상을 제외했다. 계산 자체보다 선택 조건이 변하는 지점을 표시하면서, 공식 모양만 보고 곱하는 습관을 줄였다.
조건의 위치를 바꾼 문제에 적용하다
성서고등학교나 경원고등학교라는 학교명과 관계없이, 같은 학년의 고1 수학 문제로 독립 적용할 수 있도록 조건을 바꾸었다. 이번에는 “첫 번째 자리에 특정 문자를 반드시 배치할 때”와 “특정 문자를 사용할 수 없을 때”를 비교하게 했다. 숫자만 바꾼 것이 아니라 제한 조건의 위치와 질문 방향을 바꾼 것이다.
학생은 각 경우에 선택 단계가 실제로 이어지는지 확인한 뒤 곱셈식을 세웠다. 제한 조건이 첫 단계에 걸리는지 두 번째 단계에 걸리는지에 따라 선택 수가 달라질 수 있음을 식 옆에 짧게 표시했다.
새로운 표현에서 구조를 확인하다
- 문장으로 제시된 선택 조건을 두 단계의 선택 과정으로 바꾸었다.
- 중복 허용 여부가 바뀌면 두 번째 선택 수가 달라지는지 살폈다.
- 최종 답을 고르기 전에 각 단계의 선택 수가 조건과 맞는지 확인했다.
마지막에는 표 대신 입력·출력 화살표로 선택 과정을 나타낸 문제를 제시했다. 학생은 화살표의 각 단계에 가능한 선택 수를 적고, 특정 대상을 제외한 뒤에도 곱의 법칙을 적용할 수 있는지 판단했다. 계산 결과만 확인하지 않고, 선택 수의 변화가 문제 조건과 모순되지 않는지 점검하면서 처음 보는 표현에서도 경우의 수 구조를 찾아냈다.