성당동 중2수학과외
표현이 달라져도 유한소수 조건을 찾는 중2수학 풀이
성당동과 월성주공2단지, 대구월배2차IPARk가 있는 생활권에서 중2수학과외를 진행하며 유한소수와 순환소수의 구분을 살폈다. 원화중학교, 상서중학교, 경암중학교가 포함된 지역의 학습 자료를 참고했지만, 특정 학교의 학생이나 시험 경향을 전제로 하지는 않았다. 이번 장면에서 중요한 것은 분수를 소수로 바꾸는 계산보다 분모의 소인수가 2와 5만 남는지 판단하는 과정이었다.
한 줄에서 시작된 잘못된 판단
학생은 7/40을 보고 분모 40을 10의 배수로 만들 수 있다고 표시한 뒤, 40에 25를 곱해 1000을 만들었다. 분자에도 25를 곱하여 175/1000을 얻고 0.175라고 계산했다. 여기까지는 정확했다. 이어서 학생은 11/24를 보고 “24도 10과 가까우니 유한소수가 될 수 있다”고 적었다. 실제 계산을 시작하기 전, 분모의 인수를 확인하지 않고 ‘10의 배수로 만들 수 있는가’라는 인상을 먼저 판단 기준으로 삼은 것이 풀이가 어긋난 최초의 선택이었다.
학생은 24에 5를 곱하면 120이 된다는 점을 근거로 들었지만, 분모를 120으로 바꾸려면 24에 5만 곱하는 것이 아니라 분자에도 같은 수를 곱해야 한다는 점을 놓쳤다. 더 근본적으로는 24를 2×2×2×3으로 나누어 보지 않아, 10의 거듭제곱을 만드는 과정에서 3이 사라지지 않는다는 사실을 확인하지 않았다.
분모의 남은 인수를 직접 확인하다
교정은 계산법을 새로 여러 개 추가하는 대신, 학생이 이미 정확히 해낸 7/40의 확대 과정을 유지하면서 분모만 다시 살피는 방식으로 진행했다. 학생은 다음처럼 분모를 소인수로 표시했다.
40=2×2×2×5이므로 2와 5만 있다. 24=2×2×2×3이므로 3이 남는다.
그 뒤 “기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 있으면 유한소수, 그 밖의 소인수가 남으면 순환소수”라고 자신의 말로 적었다. 11/24는 3을 없애기 위해 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 하지만, 10의 거듭제곱에는 3이 포함되지 않으므로 유한한 소수 자리에서 끝나지 않는다. 실제로 11÷24를 계산해 0.458333…이 되고, 3이 반복되는 부분에 밑줄을 그었다.
- 9/50 → 50=2×5×5, 유한소수
- 13/30 → 30=2×3×5, 순환소수
- 21/75 → 먼저 7/25로 약분, 분모에 2와 5만 남으므로 유한소수
학생은 세 문제에서 무조건 원래 분모를 보지 않고, 먼저 약분할 수 있는지 확인했다. 특히 21/75를 7/25로 고친 뒤 0.28을 계산하고, 약분 전 분모의 3이 사라졌기 때문에 판단이 달라졌다고 설명했다.
그래프처럼 보이는 자료와 자리값 질문으로 바꾸기
다음 자료는 숫자 분수만 제시하지 않았다. 가로축에는 분수, 세로축에는 소수 표현을 놓고 점을 연결한 표였으며, 일부 항목은 소수 대신 “소수점 아래 4자리에서 끝남”, “3이 일정하게 반복됨”이라는 문장으로 제시했다. 학생은 처음에 그래프의 점이 아래쪽에 있으면 유한소수라고 추측하려 했다. 그러나 곧 각 점 옆에 분수의 기약분모를 적고, 그래프의 위치가 아니라 분모 조건과 소수 표현이 대응하는지 확인했다.
질문도 바꾸었다. “다음 중 유한소수는?”이 아니라 “소수점 아래 5번째 자리의 숫자가 앞의 배열과 같은 주기로 반복되는 항목은 어느 것인가?”라고 물었다. 학생은 5/12=0.41666…을 보고 6이 반복되지만, 5/16=0.3125는 4자리에서 끝난다고 표시했다. 이후 문장으로 제시된 “분모를 10, 100, 1000 중 하나로 바꾸어 정확히 나타낼 수 있다”는 조건을 읽고, 7/20은 35/100으로 바꿀 수 있어 유한소수, 7/18은 18에 어떤 자연수를 곱해도 10의 거듭제곱이 되지 않아 순환소수라고 연결했다. 숫자만 교체한 문제가 아니라 분수, 표, 그래프, 자리값 설명 사이의 관계를 확인한 것이다.
힌트 없이 다시 세운 판단
수업의 끝에는 새로운 문제를 제시했다. 17/45와 29/125 중 유한소수를 고르고, 다른 하나가 유한소수가 아닌 이유를 설명하라는 문제였다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “기약분수인지 확인한 다음 분모의 소인수를 보겠다”고 말했다. 45=3×3×5이므로 17/45에는 3이 남아 순환소수이고, 125=5×5×5이므로 29/125는 유한소수라고 적었다. 이어 29/125에 8을 곱해 232/1000=0.232로 검산했다.
학생은 마지막으로 “분모가 10의 거듭제곱과 같은 모양인지 겉으로 판단하지 않고, 약분한 뒤 2와 5만 남는지 본다. 남는 다른 소인수는 반복되는 소수 자리로 나타난다”고 설명했다. 이때는 분수의 배열이나 숫자를 외운 것이 아니라, 처음 보는 조건에서도 첫 판단과 검산 근거를 스스로 세웠다. 성당동과 새하늘작은도서관 인근 생활권에서 이어진 대구성당동과외 학습에서도 이처럼 표현이 바뀌어도 같은 분모 조건을 찾아내는지가 핵심 확인점이 되었다.