성당동 중1수학과외

성당동 중1수학과외에서 확인한 최대공약수와 최소공배수의 선택

이곳에서 진행한 성당동과외 수업에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 계산보다, 문제의 조건에 맞는 개념을 먼저 선택하는 과정을 중심으로 살펴보았다.

답보다 먼저 확인해야 했던 조건

학생에게 다음과 같은 문제를 제시했다.

24분마다 울리는 알림과 36분마다 울리는 알림이 지금 동시에 울렸다. 다시 동시에 울리는 때는 몇 분 뒤인가?

학생은 24와 36을 소인수분해하지 않고, 공책에 곧바로 “24=2×12, 36=3×12, 따라서 12분”이라고 적었다. 두 수에 공통으로 들어 있는 수를 찾았다는 점은 보였지만, 문제에서 묻는 것은 두 간격이 다시 만나는 가장 빠른 시점이었다.

풀이가 어긋나기 시작한 순간은 계산 결과가 12가 된 때가 아니라, ‘함께 나누어지는 수’를 찾는 문제인지 ‘두 수의 배수가 처음 만나는 때’를 찾는 문제인지 구분하지 않은 채 공통인 수를 선택한 순간이었다. 학생은 숫자 모양이 비슷한 앞선 문제의 풀이를 그대로 옮겨 썼다.

문장의 방향을 수의 관계로 바꾸기

계산을 전부 지우게 하지는 않고, 문제 속 표현에 밑줄을 긋도록 했다. ‘동시에’, ‘다시’, ‘몇 분 뒤’, ‘가장 빠른’이라는 말을 확인한 뒤 24의 배수와 36의 배수를 나란히 적었다.

• 24의 배수: 24, 48, 72, 96, 120
• 36의 배수: 36, 72, 108, 144

학생은 두 줄에서 처음 겹치는 수가 72임을 표시하고 “두 간격의 공통 배수 중 가장 작은 수이므로 최소공배수”라고 문장으로 적었다. 이어 소인수분해를 사용해 24=2³×3, 36=2²×3²로 나타낸 뒤, 각 소수의 지수 중 큰 것을 골라 2³×3²=72라고 다시 계산했다. 이때 중요한 교정은 공약수와 공배수를 모두 다시 공부하는 것이 아니라, 문제가 요구하는 관계를 먼저 읽고 그에 맞는 수를 선택하는 것 하나였다.

같은 개념을 다른 모습으로 적용하기

다음 문제는 숫자를 바꾸는 대신 표현을 바꾸었다.

학교 자습 시간에 30초마다 깜빡이는 표시등과 45초마다 울리는 소리가 동시에 시작되었다. 두 신호가 다시 함께 나타나는 가장 빠른 시점을 구하고, 그 이유를 설명하시오.

학생은 이번에는 배수표를 먼저 쓰지 않고 “두 주기의 공통 배수 중 가장 작은 수를 찾는 상황”이라고 조건을 해석했다. 30=2×3×5, 45=3²×5로 바꾸고, 각 소인수의 지수를 비교해 2×3²×5=90을 얻었다. 답을 90초라고 쓴 뒤, 90÷30=3, 90÷45=2이므로 두 신호가 각각 세 번과 두 번의 주기를 지나 다시 만난다고 설명했다.

표현이 ‘알림’에서 ‘표시등과 소리’로 바뀌고, 질문도 단순한 시간 계산에서 이유 설명으로 바뀌었지만 학생은 핵심 조건을 놓치지 않았다. 특히 30과 45를 다른 곱셈 형태로 바꾸어도 최대 지수를 선택해야 한다는 점을 유지했다.

친구 풀이와 비교하며 세운 기준

친구의 풀이에는 “24와 36을 모두 나누는 가장 큰 수는 12”라는 문장이 있었다. 학생은 이를 보고 자신의 첫 답 12가 계산 실수 때문이 아니라 개념 선택의 오류였다고 구분했다. 두 수를 나누어 떨어지게 만드는 가장 큰 수는 최대공약수이고, 두 수의 배수 중 처음 만나는 수는 최소공배수라고 공책 한쪽에 나란히 정리했다.

그 뒤 학교 자습 시간에 18분마다 울리는 알림과 24분마다 울리는 알림이 함께 시작된다는 새 조건을 혼자 읽고, “다시 함께”라는 표현에 표시했다. 18=2×3², 24=2³×3이므로 최소공배수는 2³×3²=72라고 풀이했다. 72를 원래 수로 되돌려 확인하자 72÷18=4, 72÷24=3으로 모두 나누어떨어졌고, 18이나 24보다 작은 공통 배수는 없다고 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

다음 수업에서 학생은 40과 60이 제시된 문제를 도움 없이 읽었다.

두 전등이 40초와 60초 간격으로 켜진다. 동시에 켜진 뒤 다시 함께 켜지는 가장 빠른 때는?

학생은 먼저 “가장 빠른 공통 배수이므로 최소공배수”라고 판단했다. 40=2³×5, 60=2²×3×5로 소인수분해하고, 각 소수에서 더 큰 지수를 골라 2³×3×5=120을 구했다. 이어 120은 40의 세 배이고 60의 두 배이므로 조건을 만족한다고 검산했다.

학생은 마지막에 “수를 곱셈 형태로 바꾸는 것은 공약수와 공배수를 구분하기 위한 준비이고, 문제에 ‘나누는 가장 큰 수’가 나오면 최대공약수, ‘다시 함께 되는 가장 빠른 때’가 나오면 최소공배수를 선택한다”고 스스로 설명했다. 성당동중1수학과외에서는 이처럼 정답보다 첫 판단의 근거와 원래 조건에 대한 검산까지 이어지는 풀이를 확인했다.