성당동 중1수학과외

성당동 중1수학과외에서 확인한 최대공약수와 최소공배수의 선택

성당동 생활권에는 월성주공2단지와 대구월배2차IPARk가 있는 주거지가 있고, 원화중학교와 상서중학교가 포함된 생활권도 이어져 있다. 이곳에서 진행한 성당동과외 수업에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 계산보다, 문제의 조건에 맞는 개념을 먼저 선택하는 과정을 중심으로 살펴보았다.

답보다 먼저 확인해야 했던 조건

학생에게 다음과 같은 문제를 제시했다.

24분마다 울리는 알림과 36분마다 울리는 알림이 지금 동시에 울렸다. 다시 동시에 울리는 때는 몇 분 뒤인가?

학생은 24와 36을 소인수분해하지 않고, 공책에 곧바로 “24=2×12, 36=3×12, 따라서 12분”이라고 적었다. 두 수에 공통으로 들어 있는 수를 찾았다는 점은 보였지만, 문제에서 묻는 것은 두 간격이 다시 만나는 가장 빠른 시점이었다.

풀이가 어긋나기 시작한 순간은 계산 결과가 12가 된 때가 아니라, ‘함께 나누어지는 수’를 찾는 문제인지 ‘두 수의 배수가 처음 만나는 때’를 찾는 문제인지 구분하지 않은 채 공통인 수를 선택한 순간이었다. 학생은 숫자 모양이 비슷한 앞선 문제의 풀이를 그대로 옮겨 썼다.

문장의 방향을 수의 관계로 바꾸기

계산을 전부 지우게 하지는 않고, 문제 속 표현에 밑줄을 긋도록 했다. ‘동시에’, ‘다시’, ‘몇 분 뒤’, ‘가장 빠른’이라는 말을 확인한 뒤 24의 배수와 36의 배수를 나란히 적었다.

24의 배수: 24, 48, 72, 96, 120
36의 배수: 36, 72, 108, 144

학생은 두 줄에서 처음 겹치는 수가 72임을 표시하고 “두 간격의 공통 배수 중 가장 작은 수이므로 최소공배수”라고 문장으로 적었다. 이어 소인수분해를 사용해 24=2³×3, 36=2²×3²로 나타낸 뒤, 각 소수의 지수 중 큰 것을 골라 2³×3²=72라고 다시 계산했다. 이때 중요한 교정은 공약수와 공배수를 모두 다시 공부하는 것이 아니라, 문제가 요구하는 관계를 먼저 읽고 그에 맞는 수를 선택하는 것 하나였다.

같은 개념을 다른 모습으로 적용하기

다음 문제는 숫자를 바꾸는 대신 표현을 바꾸었다.

학교 자습 시간에 30초마다 깜빡이는 표시등과 45초마다 울리는 소리가 동시에 시작되었다. 두 신호가 다시 함께 나타나는 가장 빠른 시점을 구하고, 그 이유를 설명하시오.

학생은 이번에는 배수표를 먼저 쓰지 않고 “두 주기의 공통 배수 중 가장 작은 수를 찾는 상황”이라고 조건을 해석했다. 30=2×3×5, 45=3²×5로 바꾸고, 각 소인수의 지수를 비교해 2×3²×5=90을 얻었다. 답을 90초라고 쓴 뒤, 90÷30=3, 90÷45=2이므로 두 신호가 각각 세 번과 두 번의 주기를 지나 다시 만난다고 설명했다.

표현이 ‘알림’에서 ‘표시등과 소리’로 바뀌고, 질문도 단순한 시간 계산에서 이유 설명으로 바뀌었지만 학생은 핵심 조건을 놓치지 않았다. 특히 30과 45를 다른 곱셈 형태로 바꾸어도 최대 지수를 선택해야 한다는 점을 유지했다.

친구 풀이와 비교하며 세운 기준

친구의 풀이에는 “24와 36을 모두 나누는 가장 큰 수는 12”라는 문장이 있었다. 학생은 이를 보고 자신의 첫 답 12가 계산 실수 때문이 아니라 개념 선택의 오류였다고 구분했다. 두 수를 나누어 떨어지게 만드는 가장 큰 수는 최대공약수이고, 두 수의 배수 중 처음 만나는 수는 최소공배수라고 공책 한쪽에 나란히 정리했다.

그 뒤 학교 자습 시간에 18분마다 울리는 알림과 24분마다 울리는 알림이 함께 시작된다는 새 조건을 혼자 읽고, “다시 함께”라는 표현에 표시했다. 18=2×3², 24=2³×3이므로 최소공배수는 2³×3²=72라고 풀이했다. 72를 원래 수로 되돌려 확인하자 72÷18=4, 72÷24=3으로 모두 나누어떨어졌고, 18이나 24보다 작은 공통 배수는 없다고 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

다음 수업에서 학생은 40과 60이 제시된 문제를 도움 없이 읽었다.

두 전등이 40초와 60초 간격으로 켜진다. 동시에 켜진 뒤 다시 함께 켜지는 가장 빠른 때는?

학생은 먼저 “가장 빠른 공통 배수이므로 최소공배수”라고 판단했다. 40=2³×5, 60=2²×3×5로 소인수분해하고, 각 소수에서 더 큰 지수를 골라 2³×3×5=120을 구했다. 이어 120은 40의 세 배이고 60의 두 배이므로 조건을 만족한다고 검산했다.

학생은 마지막에 “수를 곱셈 형태로 바꾸는 것은 공약수와 공배수를 구분하기 위한 준비이고, 문제에 ‘나누는 가장 큰 수’가 나오면 최대공약수, ‘다시 함께 되는 가장 빠른 때’가 나오면 최소공배수를 선택한다”고 스스로 설명했다. 성당동중1수학과외에서는 이처럼 정답보다 첫 판단의 근거와 원래 조건에 대한 검산까지 이어지는 풀이를 확인했다.

성당동 중1수학과외 학부모 후기

모의고사 성적표를 받아온 날, 다음 일정을 확인하던 아이가 책상에 펼쳐 둔 문제를 잠시 다시 읽고 있더라고요. 숫자부터 훑을 줄 알았는데 수치가 나온 부분보다 조건을 설명한 문장에 먼저 표시를 하고 있었습니다. 성당동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 눈에 들어와서 잠깐 옆에서 지켜보게 됐어요. 전에는 공부가 끝나면 앞에서 풀었던 부분을 다시 펼쳐 보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 같은 문제를 다시 읽으면서 조건부터 짚고, 숫자는 그다음에 확인하는 순서가 분명했습니다. 시험 전 마지막 복습 때도 비슷한 장면이 반복됐어요. 여러 번 확인할 내용이 한데 섞이지 않도록 조건 문장 쪽을 따로 표시해 두고, 수치보다 그 부분을 먼저 찾아보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험지를 펼쳐 놓고도 바로 풀이로 들어가지 않더라고요. 중간고사를 일주일 앞둔 때였는데, 여러 문장 중 조건 부분만 골라 동그라미를 치고 잠시 읽은 뒤 다시 손을 움직였어요. 성당동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 제가 눈여겨본 건 문제를 푸는 속도보다 그 순서였어요. 예전에는 무엇을 다시 확인해야 할지 스스로 정하지 못하고 앞에서부터 문제를 되풀이하곤 했거든요. 그런데 그날은 표시한 조건부터 좁혀서 풀이를 재개했어요. 무작정 처음부터 되짚는 모습과 달라서 시험지를 한동안 보게 됐습니다. 다음 단원평가를 준비하던 밤에는 계산에 들어가기 전 조건 문장에 먼저 표시가 남아 있더라고요. 마지막에는 질문할 부분도 지우지 않고 그대로 둔 채 책을 정리했는데, 어디를 다시 볼지 흔적이 분명히 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

문제집을 한쪽으로 밀어두려던 순간, 아이가 수업 준비물을 챙기다가 아까 풀었던 문제를 다시 펼치더라고요. 숫자 몇 개를 가린 뒤 처음 봤을 때와 같은 판단으로 풀 수 있는지 확인하고 있었습니다. 그냥 끝낸 문제로 넘길 줄 알았는데, 그 장면은 의외로 눈에 띄었어요. 예전에는 한 번 푼 자료에서 다시 볼 문제를 스스로 고르는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이날은 숫자가 그대로 보이지 않게 해놓고도 풀이의 판단이 남아 있는지 따져 보더라고요. 성당동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 모습을 집에서 볼 수 있을까 싶었는데, 수업과는 별개로 눈에 들어온 행동이었습니다. 새로운 조건이 붙은 문제를 읽을 때도 숫자 일부를 가린 채 같은 방식으로 다시 풀어 보게 됐어요. 여러 내용을 한꺼번에 붙이지 않고, 필요한 한 부분만 남겨 확인하는 모습이 마지막까지 이어졌습니다.

★★★★★학부모 후기

주말 공부 계획을 세울 때 선생님과 편하게 의논할 수 있어 성당동 수업을 선택한 뒤의 변화가 더 눈에 들어왔습니다. 아이는 예전엔 막힌 문제를 표시만 했지만, 수업에서는 지난 숙제를 같이 확인하며 풀이 과정을 먼저 말하고 스스로 다시 생각할 시간을 가졌습니다. 요즘은 공부할 분량을 직접 확인하고 시작하는 날이 많아져 작은 변화가 반갑습니다.

★★★★☆학부모 후기

성당동에서 수학과외를 시작한 뒤 아이가 수업에서 틀린 문제를 공책에 다시 적고, 왜 틀렸는지 자기 말로 설명하려는 모습도 조금씩 생겼습니다. 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주의 수업량을 조절해 주셔서 부담도 덜했고, 어려운 문제가 나와도 예전처럼 피하지 않고 먼저 질문하려는 변화가 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★☆학부모 후기

성당동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 숙제하다 모르는 문제가 여러 개 나와도 예전처럼 답만 보고 넘기지 않게 됐습니다. 선생님은 틀린 부분을 바로 지적하기보다 아이가 어느 지점에서 다르게 생각했는지 함께 찾아보고, 수업 전후 복습도 부담 없이 챙겨 주셨습니다. 요즘은 수업에서 궁금했던 내용을 먼저 말하고 다시 풀어 보는 모습이 보여 뿌듯합니다.

★★★★★학부모 후기