성당동 고1수학과외
성당동 고1수학과외: 매개변수 방정식에서 답의 허용 범위 확인하기
매개변수가 포함된 방정식에서 학생은 식을 정리한 뒤 나온 두 후보를 모두 답으로 적었다. 그러나 문제의 조건에는 매개변수가 가질 수 있는 범위가 따로 있었고, 그중 하나는 조건을 만족하지 않았다. 계산 자체보다 답의 허용 범위를 해석하지 않은 것이 오답의 출발점이었다.
후보를 구한 뒤 조건을 다시 읽은 순간
예를 들어 (a-2)x=6에서 a≠2라는 조건이 주어졌다면, 학생은 x=6/(a-2)까지 정리한 뒤 매개변수의 제한을 따로 확인해야 한다. 계수 a-2가 0이면 나눌 수 없으므로, 식을 변형할 때부터 이 조건을 기록해야 한다.
식을 나눈 뒤에는 그 나눗셈이 가능한 조건과 문제에서 허용한 매개변수 범위를 함께 확인한다.
수업에서는 학생이 얻은 답을 원래 식에 다시 넣어 보게 했다. 후보가 식을 만족하는지만 보는 데 그치지 않고, 해당 매개변수가 문제의 범위 안에 있는지도 분리해서 판단하도록 했다. 이 과정에서 계산 오류가 아니라 조건을 적용하는 시점이 문제였다는 점이 드러났다.
조건의 위치를 바꾼 문항에 적용하다
다음에는 매개변수의 범위가 식 앞부분이 아니라 “방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다”는 문장으로 제시된 문항을 다뤘다. 학생은 먼저 판별식 조건을 세우고, 그 결과가 원래 매개변수 범위와 함께 성립하는지 확인했다. 단순히 식을 정리해 얻은 값만 적지 않고, 근의 조건과 매개변수 조건을 연결해 답의 범위를 좁혔다.
- 나눗셈이나 제곱근 사용으로 새 조건이 생겼는가?
- 구한 매개변수가 문제에서 허용한 범위에 들어가는가?
- 그 값을 원래 방정식의 조건에 대입했을 때 모순이 없는가?
처음 보는 변형에서의 확인
마지막에는 매개변수에 따라 최고차항의 계수가 0이 되어 방정식의 차수가 달라질 수 있는 문항을 제시했다. 학생은 먼저 계수가 0인 경우와 그렇지 않은 경우를 나누고, 각 경우의 해의 개수를 따로 판단했다. 이후 얻은 조건을 판별식과 비교해, 해의 개수와 매개변수 범위가 동시에 맞는지 설명했다.
성당동 학습 공간에서 진행한 다음 점검에서도 학생은 답을 바로 확정하지 않고, 식의 변형으로 생긴 제한과 문제에 제시된 범위를 구분해 기록했다. 이제는 계산 결과보다 그 결과가 허용되는 이유를 먼저 확인하는 풀이 습관이 자리 잡았다.