도원동 중3수학과외
도원동 중3수학과외에서 확인한 근호 정리의 기준
도원동과외 수업에서 근호를 간단히 하는 문제를 풀던 중, 계산보다 먼저 확인해야 할 기준이 드러났습니다. 대곡6단지별메마을과 대곡강산타운이 있는 생활권, 레이크뷰행복작은도서관 인근 생활권에서 중학교 수학을 준비하는 학생이라면 표현이 달라진 식을 같은 기준으로 비교하는 연습이 필요합니다. 도원동중3수학과외에서는 이번 시간의 범위를 피근수에서 완전제곱인 인수만 근호 밖으로 꺼내기로 한정했습니다.
나란히 적은 두 식에서 시작된 장면
학생에게 다음 식을 시간 제한 안에 정리하게 했습니다.
√72 = ?
학생은 먼저 피근수 72를 8×9로 나누어 적고, 옆에 다음과 같이 썼습니다.
√72 = √(8×9) = 8×3 = 24
이어 다른 풀이와 비교하기 위해 친구가 적은 식도 나란히 놓았습니다.
√72 = √(4×18) = 2√18
학생은 두 결과가 서로 달라 보이자 ‘9뿐 아니라 8도 근호 밖으로 옮길 수 있다’고 판단했습니다. 두 표현에서 대응하는 대상을 찾으라는 질문에는 ‘피근수 안의 곱’이라고 표시했지만, 곱을 이루는 인수 중 어떤 것이 완전제곱인지까지 구분하지 않았습니다.
결과보다 앞선 첫 판단
최종 답 24가 틀렸다는 사실보다 먼저 살펴볼 지점은 8을 완전제곱인 인수처럼 취급한 순간입니다. √(8×9)에서 9는 3²이므로 근호 밖으로 3을 꺼낼 수 있습니다. 그러나 8 자체는 어떤 수의 제곱인 인수가 아니므로 그대로 남겨야 합니다. 따라서 학생이 이미 맞게 찾은 9를 버릴 필요는 없고, 8에 적용한 기준만 바로잡아야 합니다.
피근수를 다시 배열해 보는 한 가지 교정
이번에는 계산을 처음부터 바꾸지 않고, 피근수를 완전제곱인 부분과 나머지 부분으로 다시 나누게 했습니다.
72 = 9×8 = 3²×8
그러므로
√72 = √(3²×8) = 3√8
입니다. 여기서 멈추는 이유는 8이 완전제곱인 인수가 아니기 때문입니다. 학생은 친구의 식인 √72=√(4×18)=2√18도 같은 방식으로 확인했습니다. 4는 2²이므로
√(4×18) = 2√18
이 되고, 두 표현은 모두 같은 피근수 72에서 출발합니다. 한쪽에서는 9를 밖으로, 다른 쪽에서는 4를 밖으로 꺼냈지만, 밖으로 이동할 수 있는 것은 완전제곱인 인수뿐이라는 관계는 같습니다. 표현이 달라도 피근수 안에서 제곱으로 묶이는 부분을 찾는다는 기준은 변하지 않습니다.
모양을 바꾼 연습 문제
다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고, 피근수를 여러 인수의 곱으로 제시했습니다.
√(2×25×6)을 완전제곱인 인수를 이용해 간단히 나타내시오.
학생은 먼저 25에 밑줄을 긋고 25=5²라고 표시했습니다. 2와 6은 각각 근호 밖으로 옮길 수 있는 완전제곱 인수가 아니므로 안에 남겨
√(2×25×6) = 5√(2×6)
이라고 적었습니다. 이번에는 풀이 방향을 바꾸어, 다음 중 같은 근호식을 나타내는 표현을 고르게 했습니다.
- 5√12
- 10√3
- 25√12
학생은 25만 먼저 밖으로 이동시켜 5√12를 선택했습니다. 이어 12 안에 4가 있다는 점을 확인해 5√12=5×2√3=10√3이라고 정리했습니다. 반면 25√12는 25를 그대로 밖으로 옮긴 것이어서, 완전제곱 25의 제곱근인 5가 아니라 25를 사용한 잘못된 표현이라고 설명했습니다.
힌트 없이 다시 세운 검산
마지막에는 처음 보지 못한 식을 제시하고 아무 표시도 하지 않은 채 풀게 했습니다.
√(7×16×3)을 간단히 나타내고, 밖으로 나온 수가 제대로 이동했는지 확인하시오.
학생은 16=4²를 먼저 찾아
√(7×16×3)=4√21
이라고 썼습니다. 이어 밖으로 나온 4를 다시 제곱해 16을 만들고, 남은 7×3과 곱하면 원래 피근수인 336이 된다고 확인했습니다.
4²×21 = 16×21 = 336 = 7×16×3
학생은 “근호 밖의 수는 피근수 안의 완전제곱 인수의 제곱근이고, 완전제곱이 아닌 인수는 근호 안에 남긴다”고 스스로 설명했습니다. 표현이나 인수의 배열이 달라져도 이 기준으로 다시 확인할 수 있다면, 근호 간단히 하기는 계산 결과가 아니라 인수의 역할을 구분하는 풀이가 됩니다.