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도원동 중1수학과외

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곱셈식의 모양이 달라져도 최소공배수 찾기

도원동과외 수업에서 중1 학생과 최소공배수를 구하는 문제를 살펴보았다. 도원중학교와 대곡중학교가 포함된 생활권에서는 대곡6단지별메마을, 대곡강산타운 같은 아파트가 있는 생활권과 작은도서관 인근 생활권에서 학습 질문이 다양하게 나온다. 이날 핵심은 단순히 답을 계산하는 것이 아니라, 수가 어떤 곱셈 형태로 제시되어도 최소공배수를 구성하는 과정이었다.

첫 식에서 드러난 판단

문제에는 24와 90의 최소공배수를 구하되, 두 수를 소인수의 곱으로 나타내어 풀이하라는 조건이 있었다. 학생은 공책에 먼저 24=2×2×2×3, 90=2×3×3×5라고 적었다. 여기까지는 정확했다. 그러나 두 식을 나란히 본 뒤 “겹치는 2와 3만 한 번씩 쓰면 된다”고 판단해 2×3=6을 답으로 적었다.

계산 결과가 작게 나온 것이 문제의 시작은 아니었다. 최초로 어긋난 부분은 두 수에 들어 있는 인수를 한 번씩만 골라도 된다고 생각한 순간이었다. 최소공배수는 공통 인수만 모으는 수가 아니라, 두 수 각각을 나누어떨어지게 만들 만큼 필요한 인수를 모두 갖추어야 한다.

인수의 개수를 확인하며 다시 구성하기

학생이 적어 둔 두 식을 지우지 않고, 각 인수 위에 개수를 표시했다. 24에는 2가 세 개, 3이 한 개 있고 90에는 2가 한 개, 3이 두 개, 5가 한 개 있었다. 두 수를 모두 만들 수 있으려면 2는 세 개, 3은 두 개, 5는 한 개가 필요하므로 2×2×2×3×3×5를 구성해야 했다.

학생은 이를 23×32×5로 바꾸어 적고, 다시 곱셈식으로 되돌렸다. 8×9×5=360이므로 최소공배수는 360이다. 처음 적은 6은 24를 나누어떨어지게 하지 못한다는 점도 확인했다. 반대로 360을 24와 90에 각각 나누어 보니 나머지 없이 나누어졌다. 이미 맞았던 소인수분해 과정은 유지하고, 인수의 개수를 비교하는 판단만 바로잡은 것이다.

각 소인수를 공통으로 한 번만 고르는 것이 아니라, 두 수 중 더 많이 필요한 개수를 선택해야 한다.

표현을 바꾸어 같은 개념을 적용하다

다음 문제는 인수분해 식이 바로 주어지지 않고, “한 수는 2를 세 번 곱하고 3을 한 번 곱한 수이고, 다른 수는 2와 3을 각각 두 번씩 곱한 뒤 5를 곱한 수”라는 문장으로 제시되었다. 학생은 문장에서 숫자를 바로 계산하지 않고, 먼저 표를 만들었다.

  • 첫 번째 수: 2 세 개, 3 한 개
  • 두 번째 수: 2 한 개, 3 두 개, 5 한 개

그 뒤 각 소인수의 개수를 비교하여 2는 세 개, 3은 두 개, 5는 한 개를 선택했다. 이번에는 23×32×5를 먼저 쓴 다음 360으로 계산했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 곱셈식에서 문장과 표로 표현이 바뀌었지만, 필요한 인수의 개수를 읽어 최소공배수를 구성했다.

또 다른 문항에서는 360을 23×32×5가 아닌 2×2×2×3×3×5로 나타내고, 이 수가 24와 90의 최소공배수인지 설명하게 했다. 학생은 두 표현이 같은 수인지 곱으로 되돌려 확인한 뒤, 24의 인수인 2 세 개와 3 한 개, 90의 인수인 2 한 개와 3 두 개와 5 한 개가 모두 포함된다고 적었다. 360보다 작은 공배수가 되려면 2, 3, 5 중 필요한 인수 하나를 줄여야 하지만 그러면 24 또는 90 중 하나를 만들 수 없다는 점도 덧붙였다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

주말 누적 복습에서는 “36과 84를 소인수의 곱으로 나타내고 최소공배수를 구한 뒤, 결과를 원래 수와 비교하라”는 문제를 제시했다. 학생은 도움 없이 36=2×2×3×3, 84=2×2×3×7을 적었다. 이어 2는 두 개, 3은 두 개, 7은 한 개를 선택해 2×2×3×3×7=252를 얻었다.

학생은 풀이 이유를 “두 수에 필요한 인수를 모두 포함하되, 각각의 인수는 두 식에서 더 많이 나타난 개수만큼 선택했다”고 설명했다. 이어 252÷36=7, 252÷84=3이라고 검산하고, 2나 3이나 7 중 어느 하나의 개수를 줄이면 두 수 중 하나가 나누어지지 않는다고 말했다. 표현이 곱셈식에서 문장과 표로 바뀌어도 인수와 개수를 먼저 읽고, 곱으로 되돌려 원래 수와 비교하는 흐름을 스스로 재현한 것이다.

도원동중1수학과외에서는 이처럼 최소공배수를 답만 적는 계산으로 끝내지 않고, 제시된 표현을 인수의 개수로 바꾸고 다시 곱셈식으로 확인하는 과정을 통해 풀이의 근거를 남긴다.

도원동 중1수학과외 학부모 후기

계산 숙제를 펼쳐 보니 긴 조건을 그대로 옮겨 적은 게 아니라, 필요한 내용만 식 옆에 짧게 적어 두었더라고요. 다 확인한 부분에는 작은 표시도 하나씩 남아 있더라고요. 예전에는 오답을 봐도 한 군데만 대충 다시 확인하는 일이 많았는데, 이번에는 문제에서 꼭 필요한 조건을 골라내는 모습이 보였습니다. 방학 숙제를 시작하던 오전, 책상 위 문제집에 낯선 메모가 보여서 살펴보게 됐어요. 문제 조건을 아이 나름대로 짧은 말로 바꿔 적어 둔 흔적이었습니다. 긴 문장을 전부 베껴 쓰지 않고 식을 세우는 데 필요한 부분만 남겨 둔 게 눈에 들어왔어요. 도원동 수학과외 관련해서 자료를 찾아보던 때에도 이런 장면을 상상하진 못했는데, 실제로는 다음 계산 문제에서도 같은 식으로 조건 옆을 간단히 정리하고 확인 표시까지 해 두었어요.

★★★★★학부모 후기

새 수학 노트로 바꾼 날이라 책상 위가 조금 어수선했는데, 아이가 틀린 문제를 유형별로 다시 옮겨 적지 않고 시험지 원본에 틀린 이유만 짧게 적어두더라고요. 노트에 정리할 줄 알았던 저로서는 의외였어요. 도원동 수학과외 이야기를 나누며 보던 자료와도 별개로, 그날에는 자기 방식대로 시험지를 바로 살펴보고 있었습니다. 예전에는 다시 볼 문제를 따로 표시하지 않아서 시험지를 펼치면 처음부터 전부 훑곤 했거든요. 그런데 이번에는 이유가 적힌 곳만 찾아가면 되니 어디를 확인해야 하는지 한눈에 보였어요. 다음 주 학교 숙제를 끝낸 뒤에도 원래 시험지에 틀린 까닭을 남겼고, 아직 확인하지 못한 부분은 따로 구분해 두었습니다. res

★★★★★학부모 후기

도원동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 자기 풀이를 설명하는 모습을 조금씩 보여 주기 시작했습니다. 어느 날 진도를 잠시 멈추고 기초 문제를 다시 풀었는데, 선생님은 답을 알려주기보다 생각을 정리할 기준만 짚어 주어 아이가 끝까지 스스로 해냈습니다. 시험기간에도 숙제와 복습량을 나누어 관리해 주니 부담을 덜 느끼고 배운 내용을 집에서 다시 살펴보는 습관이 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

도원동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 평소보다 어려운 문제를 만난 날에도 수업이 끝나자 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 표시만 해두고 미루기 일쑤였는데, 선생님이 집중이 흐트러질 때마다 설명을 반복하기보다 다른 문제로 자연스럽게 전환해 부담을 덜어주셨다고 합니다. 시험 범위를 받은 뒤에도 숙제를 한꺼번에 넘기지 않고 복습할 부분을 나눠 챙겨 주셔서 수학을 시작하는 마음이 조금 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

도원동에서 수학 과외를 시작했을 때는 숙제 검사를 받는 시간이 제일 부담스러웠고, 맞힌 문제도 풀이를 다시 설명하라는 말이 막막했습니다. 선생님은 틀린 곳만 지적하지 않고 문제를 풀 때 생각한 과정을 차분히 물어봐 주셔서 질문하기 편했습니다. 시험 전에는 부족한 부분을 다시 확인하며 무리하게 진도를 나가지 않았고, 요즘은 틀려도 금방 다시 문제를 이어서 풀게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기