도원동 중1수학과외

곱셈식의 모양이 달라져도 최소공배수 찾기

도원동과외 수업에서 중1 학생과 최소공배수를 구하는 문제를 살펴보았다. 도원중학교와 대곡중학교가 포함된 생활권에서는 대곡6단지별메마을, 대곡강산타운 같은 아파트가 있는 생활권과 작은도서관 인근 생활권에서 학습 질문이 다양하게 나온다. 이날 핵심은 단순히 답을 계산하는 것이 아니라, 수가 어떤 곱셈 형태로 제시되어도 최소공배수를 구성하는 과정이었다.

첫 식에서 드러난 판단

문제에는 24와 90의 최소공배수를 구하되, 두 수를 소인수의 곱으로 나타내어 풀이하라는 조건이 있었다. 학생은 공책에 먼저 24=2×2×2×3, 90=2×3×3×5라고 적었다. 여기까지는 정확했다. 그러나 두 식을 나란히 본 뒤 “겹치는 2와 3만 한 번씩 쓰면 된다”고 판단해 2×3=6을 답으로 적었다.

계산 결과가 작게 나온 것이 문제의 시작은 아니었다. 최초로 어긋난 부분은 두 수에 들어 있는 인수를 한 번씩만 골라도 된다고 생각한 순간이었다. 최소공배수는 공통 인수만 모으는 수가 아니라, 두 수 각각을 나누어떨어지게 만들 만큼 필요한 인수를 모두 갖추어야 한다.

인수의 개수를 확인하며 다시 구성하기

학생이 적어 둔 두 식을 지우지 않고, 각 인수 위에 개수를 표시했다. 24에는 2가 세 개, 3이 한 개 있고 90에는 2가 한 개, 3이 두 개, 5가 한 개 있었다. 두 수를 모두 만들 수 있으려면 2는 세 개, 3은 두 개, 5는 한 개가 필요하므로 2×2×2×3×3×5를 구성해야 했다.

학생은 이를 2³×3²×5로 바꾸어 적고, 다시 곱셈식으로 되돌렸다. 8×9×5=360이므로 최소공배수는 360이다. 처음 적은 6은 24를 나누어떨어지게 하지 못한다는 점도 확인했다. 반대로 360을 24와 90에 각각 나누어 보니 나머지 없이 나누어졌다. 이미 맞았던 소인수분해 과정은 유지하고, 인수의 개수를 비교하는 판단만 바로잡은 것이다.

각 소인수를 공통으로 한 번만 고르는 것이 아니라, 두 수 중 더 많이 필요한 개수를 선택해야 한다.

표현을 바꾸어 같은 개념을 적용하다

다음 문제는 인수분해 식이 바로 주어지지 않고, “한 수는 2를 세 번 곱하고 3을 한 번 곱한 수이고, 다른 수는 2와 3을 각각 두 번씩 곱한 뒤 5를 곱한 수”라는 문장으로 제시되었다. 학생은 문장에서 숫자를 바로 계산하지 않고, 먼저 표를 만들었다.

• 첫 번째 수: 2 세 개, 3 한 개
• 두 번째 수: 2 한 개, 3 두 개, 5 한 개

그 뒤 각 소인수의 개수를 비교하여 2는 세 개, 3은 두 개, 5는 한 개를 선택했다. 이번에는 2³×3²×5를 먼저 쓴 다음 360으로 계산했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 곱셈식에서 문장과 표로 표현이 바뀌었지만, 필요한 인수의 개수를 읽어 최소공배수를 구성했다.

또 다른 문항에서는 360을 2³×3²×5가 아닌 2×2×2×3×3×5로 나타내고, 이 수가 24와 90의 최소공배수인지 설명하게 했다. 학생은 두 표현이 같은 수인지 곱으로 되돌려 확인한 뒤, 24의 인수인 2 세 개와 3 한 개, 90의 인수인 2 한 개와 3 두 개와 5 한 개가 모두 포함된다고 적었다. 360보다 작은 공배수가 되려면 2, 3, 5 중 필요한 인수 하나를 줄여야 하지만 그러면 24 또는 90 중 하나를 만들 수 없다는 점도 덧붙였다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

주말 누적 복습에서는 “36과 84를 소인수의 곱으로 나타내고 최소공배수를 구한 뒤, 결과를 원래 수와 비교하라”는 문제를 제시했다. 학생은 도움 없이 36=2×2×3×3, 84=2×2×3×7을 적었다. 이어 2는 두 개, 3은 두 개, 7은 한 개를 선택해 2×2×3×3×7=252를 얻었다.

학생은 풀이 이유를 “두 수에 필요한 인수를 모두 포함하되, 각각의 인수는 두 식에서 더 많이 나타난 개수만큼 선택했다”고 설명했다. 이어 252÷36=7, 252÷84=3이라고 검산하고, 2나 3이나 7 중 어느 하나의 개수를 줄이면 두 수 중 하나가 나누어지지 않는다고 말했다. 표현이 곱셈식에서 문장과 표로 바뀌어도 인수와 개수를 먼저 읽고, 곱으로 되돌려 원래 수와 비교하는 흐름을 스스로 재현한 것이다.

도원동중1수학과외에서는 이처럼 최소공배수를 답만 적는 계산으로 끝내지 않고, 제시된 표현을 인수의 개수로 바꾸고 다시 곱셈식으로 확인하는 과정을 통해 풀이의 근거를 남긴다.