서창동 중3수학과외
서창동 생활권에서 살펴본 cos의 기준각 판별
서창동과외 수업에서 주말 복습 풀이를 확인하던 중, cos값을 외우고도 변을 잘못 고르는 사례가 보였습니다. 간석금호어울림아파트가 있는 생활권이나 만월중학교·인천서창중학교가 포함된 주변에서 중3수학을 복습할 때도, 그림의 방향보다 먼저 확인해야 할 기준이 있습니다. 이번 글에서는 cos를 기준각에서 인접한 변과 빗변의 비로 읽는 판단만 다룹니다.
학생의 풀이 기록에서 멈춘 지점
직각삼각형 ABC에서 ∠B=60°, ∠C=90°이고, AB=10cm일 때 cos B를 구하는 문제였습니다. 학생은 그림에 빗변 AB를 표시한 뒤 다음과 같이 적었습니다.
“cos B = BC ÷ AB. 그런데 BC의 길이가 없으므로 구할 수 없다.”
AB가 직각의 맞은편이므로 빗변이라는 판단은 맞았습니다. BC를 인접한 변으로 고른 것도 ∠B를 기준으로 보면 맞는 선택입니다. 그러나 이 풀이에는 계산보다 먼저 확인해야 할 오류가 있었습니다. 학생은 문제의 기준각이 B인지 다시 표시하지 않은 채, 앞에서 풀었던 문제의 변 선택을 그대로 가져왔습니다. 이번 문제에서는 주어진 값 AB가 이미 기준각 B와 빗변의 역할을 함께 보여 주므로, 필요한 비를 바로 읽어야 했습니다.
변의 이름보다 기준각을 먼저 표시하기
오류가 생긴 지점만 고쳐, 그림에서 ∠B를 동그라미로 표시하고 B에 붙은 두 변 BA와 BC를 살폈습니다. 이때 BA는 직각 C의 맞은편이므로 빗변이고, BC는 기준각 B에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 인접한 변입니다. 따라서
cos B = 인접한 변 ÷ 빗변 = BC ÷ BA
입니다. ∠B=60°이므로 cos B=1/2이고, 이미 BA=10cm가 주어졌습니다. 식은
1/2 = BC ÷ 10
이 됩니다. 학생이 처음 적은 비의 모양 자체는 맞았으므로 그 계산을 전부 버리지 않고, 기준각을 먼저 확인한 뒤 주어진 값과 연결했습니다. 양변에 10을 곱하면 BC=5cm입니다. 여기서 중요한 교정은 다른 공식을 추가한 것이 아니라, 기준각을 표시한 뒤 두 변의 역할을 다시 선택한 것 하나입니다.
그림의 방향이 바뀌면 선택도 달라지는가
다음에는 삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠R=45°이고 QR=8cm, PR=12cm인 그림을 제시했습니다. 이번에는 기준각이 R이며, 직각의 맞은편인 PQ가 빗변입니다. R에 붙은 두 변은 RP와 RQ이므로, 그중 빗변이 아닌 RQ가 인접한 변입니다. 따라서
cos R = RQ ÷ RP = 8 ÷ 12 = 2/3
로 읽습니다. 앞 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라 기준각의 위치와 빗변의 이름을 바꾸었지만, “기준각에 붙은 두 변 중 빗변이 아닌 변”이라는 경계는 그대로입니다.
또 다른 그림에서 ∠P=90°이고 ∠Q가 기준각이라면, PQ와 QR 중 QR은 직각의 맞은편이 아니므로 인접한 변이고, PR이 빗변이 됩니다. 반대로 기준각이 R로 바뀌면 인접한 변은 PR이 됩니다. 같은 삼각형에서도 기준각이 바뀌면 인접한 변의 판단이 달라지므로, 그림의 위아래나 좌우 방향만 보고 고르면 안 됩니다.
힌트 없이 다시 확인한 풀이
마지막에는 별도의 표시나 질문 없이 다음 문제를 풀게 했습니다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠X=90°, ∠Z가 기준각이고 XZ=9cm, YZ=15cm일 때 cos Z를 구하는 문제입니다.
학생은 먼저 “직각 X의 맞은편인 YZ가 빗변”이라고 적었습니다. 이어 기준각 Z에 붙은 변 XZ와 ZY 중 빗변이 아닌 XZ를 인접한 변으로 선택했습니다. 그래서
cos Z = XZ ÷ YZ = 9 ÷ 15 = 3/5
라고 답했습니다. 검산에서는 구한 비 3/5를 원래 선택한 두 변에 대입해 “인접한 변 9를 빗변 15로 나눈 값”인지 확인했고, 빗변이 인접한 변보다 길다는 그림의 조건에도 맞는다고 설명했습니다.
이제 학생은 cos를 볼 때 숫자나 도형의 방향을 먼저 따라가지 않습니다. 기준각 표시 → 직각의 맞은편에서 빗변 확인 → 기준각에 붙은 나머지 변 선택 → 인접한 변/빗변 작성의 순서로, 새로운 그림에서도 같은 판단을 스스로 재현했습니다. 서창동중3수학과외에서 확인한 변화도 바로 이 한 가지 기준이었습니다.