서창동 중2수학과외

그래프 위의 점을 판별할 때 먼저 확인할 것

서창동과외 수업에서 학생은 만월중학교가 포함된 생활권의 일차함수 문제를 풀다가 그래프 위의 점을 판단하는 과정에서 자주 멈췄다. 문제에는 직선의 그래프와 몇 개의 좌표가 제시되어 있었고, 질문은 “어느 점이 그래프 위에 있는가?”였다. 간석금호어울림아파트가 있는 생활권에서 학교 시험 문제를 연습하듯, 학생은 그림을 먼저 읽고 식으로 확인하는 순서를 적어 보았다.

그래프 모양보다 먼저 읽어야 했던 조건

학생은 좌표평면에 표시된 점을 손가락으로 가리키며 그래프 선에 가까운 점을 골랐다. 이어 직선의 식을 y=2x+1로 옮겨 적고, 점 A(1, 3)에 x=1을 대입해 y=3이므로 맞다고 표시했다. 점 B(2, 4)는 그림에서 선 위에 있는 것처럼 보여 계산을 잠시 보류했고, 점 C(-1, -1)도 눈대중으로 선과 겹친다고 판단했다. 이후 세 점을 식에 대입해 검산하려 했지만 B와 C의 결과가 그림에서 예상한 위치와 달라졌다.

풀이가 어긋난 최초의 선택은 계산 실수가 아니었다. 문제의 조건이 “굵은 실선으로 표시된 직선 위의 점”인지, 아니면 그래프 주변에 표시된 점까지 포함하는지 확인하지 않은 채 그래프 모양만 보고 식을 확정한 것이었다. 특히 축과 만나는 위치를 정확히 읽지 않아 y절편을 1이 아니라 2로 보는 바람에, 그림의 일부와 맞는 식을 먼저 세웠다.

그래프의 모양이 비슷해 보여도 점이 위에 있는지는 반드시 그 점의 x좌표를 식에 넣어 얻은 y좌표와 비교해야 한다.

y축과 만나는 위치를 다시 읽다

교정은 한 가지 판단만 바로잡는 데서 시작했다. 학생은 그래프가 y축과 만나는 점을 다시 표시하고, 눈금 한 칸의 크기를 확인했다. 직선은 y축에서 2가 아니라 1을 지나므로 식의 절편은 1이라고 고쳤다. 또 x가 1 증가할 때 y가 2 증가하는 두 점을 골라 기울기가 2임을 확인했다. 따라서 식은 y=2x+1로 유지했다.

그 뒤에는 모든 점을 같은 방식으로 처리했다. A(1, 3)은 2×1+1=3이므로 그래프 위에 있다. B(2, 4)는 식에 넣으면 2×2+1=5이므로 실제 그래프 위의 점이 아니다. C(-1, -1)은 2×(-1)+1=-1이므로 위에 있다. 학생은 답 옆에 ‘식에서 나온 y값과 주어진 y값이 같음’, ‘다름’이라고 각각 적어 그림의 위치와 계산 결과가 어긋나는 경우도 구분했다.

표와 문장으로 바뀐 문제에 적용하기

다음 문제는 직선 그림이 아니라 표로 제시되었다. x의 값이 -2, 0, 3이고 y의 값이 -3, 1, 7로 주어졌으며, “이 자료가 y=2x+1의 그래프 위 점을 나타내는가?”라고 물었다. 학생은 표를 보고 바로 선을 그리지 않았다. 먼저 x=0일 때 y=1인지 확인해 y절편을 찾고, x가 0에서 3으로 변할 때 y가 1에서 7로 변하므로 변화량을 비교했다. 이어 각 열을 식에 대입해 -2일 때 -3, 0일 때 1, 3일 때 7이 나오는 것을 확인했다.

질문 방향이 바뀐 경우도 이어서 풀었다. 이번에는 식이 주어지지 않고, 그래프가 y축과 만나는 점은 (0, -2), x가 1 증가할 때 y가 3 감소한다고 제시되었다. 학생은 절편을 -2, 기울기를 -3으로 따로 적어 y=-3x-2를 세웠다. 점 (1, -5)를 대입해 -3×1-2=-5이므로 위에 있다고 판단했고, 점 (-1, 1)은 -3×(-1)-2=1이므로 역시 위에 있다고 설명했다. 모양이 비슷한 그림을 고르는 대신, 바뀐 조건에서 절편과 기울기를 새로 읽은 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

서창동중2수학과외의 독립 확인에서는 도움말 없이 새로운 그래프와 두 점이 주어졌다. 직선은 y축에서 3을 지나고, 오른쪽으로 한 칸 갈 때 y가 1만큼 내려갔다. 학생은 첫 줄에 “절편은 3, 기울기는 -1이므로 y=-x+3”이라고 썼다. 점 P(4, -1)에 대해서는 -4+3=-1이므로 그래프 위라고 했고, 점 Q(4, 1)은 계산값과 주어진 y값이 다르므로 위가 아니라고 설명했다.

학생은 검산으로 교점 (0, 3)을 두 표현에 대입했다. 식에서는 -0+3=3이 되고 그래프에서도 y축과 만나는 값이 3이므로 일치한다고 말했다. 이어 “경계처럼 보이는 선 가까이에 있는지는 판단 근거가 아니며, 주어진 x에서 식이 정한 y와 정확히 같아야 한다”고 스스로 정리했다. 마지막 답은 맞힌 결과보다, 새 조건에서 절편과 기울기를 먼저 읽고 두 점을 식에 대입해 근거까지 확인한 과정으로 완성되었다.