서창동 고2수학과외







y절편이 그대로라는 판단이 왜 틀렸을까
학생은 \(y=2^x\)를 오른쪽으로 1, 위로 3만큼 평행이동한 그래프의 y절편을 4라고 적었다. 원래 y절편이 1이므로, 위로 3만큼 이동하면 \(1+3=4\)라고 생각한 것이다.
이동된 함수식부터 확인하기
지수함수 \(y=2^x\)를 오른쪽으로 1만큼 이동하면 \(x\) 대신 \(x-1\)을 넣는다. 다시 위로 3만큼 이동하므로 함수식은
\[ y=2^{x-1}+3 \]
가 된다. 평행이동된 그래프의 y절편은 그래프와 \(y\)축이 만나는 점이므로 \(x=0\)을 대입해야 한다.
\[ y=2^{0-1}+3=2^{-1}+3=\frac12+3=\frac72 \]
따라서 y절편은 \(\left(0,\frac72\right)\)이다. 오른쪽 이동은 원래 y절편의 높이를 단순히 보존하지 않으므로, 이동된 식에 \(x=0\)을 직접 대입해야 한다.
수평이동만 다를 때의 비교
| 함수 | y절편 |
|---|---|
| \(y=2^{x-1}\) | \(2^{-1}=\frac12\) |
| \(y=2^{x+1}\) | \(2^1=2\) |
두 그래프는 모두 \(y=2^x\)를 수평으로만 이동한 것이지만 y절편은 서로 다르다. 오른쪽으로 이동한 \(y=2^{x-1}\)의 y절편은 \(\frac12\), 왼쪽으로 이동한 \(y=2^{x+1}\)의 y절편은 \(2\)이다.
서창동과외에서 점검할 핵심
평행이동 문제에서 원래 그래프의 절편을 그대로 옮겨 적으면 안 된다. 먼저 이동된 함수식을 세운 뒤 \(x=0\)을 대입하고, 그 결과가 실제 y절편인지 확인해야 한다.
최종 확인
\[ y=2^{x-1}+3 \]
에서 \(x=0\)일 때 \(y=\frac72\)이므로, 정답은 \(\left(0,\frac72\right)\)이다. 그래프를 직접 그리지 않아도 식에 \(x=0\)을 대입하면 y절편의 크기를 정확히 판정할 수 있다.