만수지구 중등수학과외

만수지구중등수학과외, 204와 306의 소인수분해에서 지수와 곱의 복원을 확인하는 법

합성수 204를 소인수분해하면 2²×3×17이고, 306을 소인수분해하면 2×3²×17입니다. 두 수 모두 2, 3, 17이라는 소수를 사용하지만, 같은 답을 옮겨 적을 수 있는 문제는 아닙니다. 204에서는 2가 두 번 곱해지고 306에서는 3이 두 번 곱해진다는 차이가 있기 때문입니다. 기본 문제의 풀이를 설명할 수 있어도 새 수에서 첫 분해를 스스로 선택하기 어려울 수 있으므로, 만수지구중등수학과외에서는 정답만 비교하기보다 인수와 소인수를 구별하며 바뀐 조건을 읽는 과정을 확인합니다.

204를 끝까지 나누어 소수의 곱으로 만드는 이유

소인수분해는 한 수를 소수인 인수들의 곱으로 나타내는 일입니다. 인수는 곱해서 원래 수를 만드는 수 전체를 말하고, 소인수는 그중 소수인 인수만 말합니다. 따라서 204=2×102라고 적는 것은 첫 분해일 뿐 소인수분해의 끝이 아닙니다. 102가 합성수이므로 다시 2×51로, 51은 3×17로 나누어야 합니다. 소인수분해 가지에는 204→2×102→2×2×51→2×2×3×17처럼 적을 수 있습니다. 남은 2, 3, 17이 모두 소수인지 소수 판별표로 확인한 뒤, 같은 소수 두 개를 2²로 묶어 204=2²×3×17로 씁니다.

여기서 지수 2는 2+2가 아니라 2×2, 즉 같은 소수 2가 두 번 곱해졌다는 뜻입니다. 검산도 이 뜻에 맞춰 합니다. 2²×3×17=4×3×17=12×17=204이므로 원래 수로 정확히 돌아옵니다. 만약 2²를 2+2로 처리하거나 102, 51을 그대로 남긴다면, 소수만으로 나타내야 한다는 조건과 맞지 않습니다. 풀이 옆에 ‘합성수인 인수는 다시 분해’라고 표시하면 어디에서 멈추면 안 되는지가 드러납니다.

306에서는 같은 방법을 쓰되, 같은 지수를 기대하지 않기

비교 문제인 306도 소인수분해한다는 요구는 유지되지만, 출발 수와 반복되는 소수가 달라집니다. 먼저 답을 알려 주기보다 306에서 학생이 고른 첫 나눗셈을 보며 판단 과정을 확인할 수 있습니다. 306은 짝수이므로 306=2×153으로 시작할 수 있고, 153=3×51, 51=3×17입니다. 따라서 306=2×3×3×17=2×3²×17입니다. 204의 2²×3×17을 보고 숫자만 바꾸는 방식으로 306에도 2²를 쓰면, 실제 곱이 4×3×17=204가 되어 306을 만들지 못합니다.

비교할 때는 두 풀이를 나란히 두고 204에서는 2가 두 번, 306에서는 3이 두 번 나온 부분에 표시합니다. “기본 과제와 비교 과제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”라는 질문에는 단순히 수가 바뀌었다고만 답하기보다, 분해 과정에서 반복되는 소수가 2에서 3으로 바뀐다고 말할 수 있어야 합니다. 이어서 2×3²×17=2×9×17=18×17=306으로 곱을 복원하면, 지수와 소인수 선택이 새 수에 맞았는지 확인할 수 있습니다.

도움의 위치를 기록하고 다음 소인수분해로 확인하기

수업에서는 기본 문제를 설명할 때 제공된 질문으로 나온 판단과, 306의 첫 단계를 혼자 선택한 판단을 구분해 봅니다. 예를 들어 204에서는 분해 가지를 보고 완성했지만 306에서 153을 더 나누는 지점에 멈췄다면, 소인수분해 전체를 처음부터 단정하기보다 ‘합성수인 인수만 다시 분해한다’는 관계를 새 조건에 적용하는지 더 살펴볼 수 있습니다. 반대로 첫 단계부터 306=2×153을 선택하고 153과 51을 계속 분해했다면, 어떤 표시와 식을 근거로 선택했는지 확인합니다.

다음 확인에서는 306의 풀이를 다시 베끼게 하기보다, 원래 수를 소수의 곱으로 되돌려 보는 행동을 유지합니다. “지수는 같은 소수를 몇 번 곱했다는 뜻인가요?”에 3²=3×3이라고 근거를 들어 답하고, 306에서 2×3²×17을 스스로 세울 수 있는지가 기준입니다. 멈춘 위치가 있다면 그 지점의 인수가 소수인지 합성수인지부터 표시해 보며, 답만 맞았는지와 새 조건을 읽어 적용했는지를 함께 확인하는 것이 좋습니다.