만수지구 중1수학과외

그림의 방향보다 표시를 먼저 읽는 수직과 수선 풀이

만수지구과외 수업에서 학생은 수직과 수선이 함께 등장하는 도형 문제를 풀며, 그림의 모양을 보고 판단하는 습관을 점검했다. 만수지구와 간석금호어울림아파트가 있는 생활권의 중학교 학습지에는 다음과 같은 문제가 제시되어 있었다. 직선 l 위에 점 B와 C가 있고, 점 A에서 직선 l에 내린 선분 AD가 있다. 그림에는 D에서 직각 표시가 있으며, B와 C의 위치와 몇몇 길이만 주어져 있었다. 문제는 ‘AD와 l의 관계를 설명하고, 표시된 조건만으로 알 수 있는 내용을 고르시오’였다.

학생의 첫 풀이에서 빠진 한 가지

학생은 그림을 보자마자 선분 AD의 길이를 계산하려고 했다. 공책에는 AD ⟂ l이라고 쓰지 않고, “A에서 아래로 내려온 선이므로 수선”이라고 적은 뒤 B와 C 사이의 길이를 더했다. 이어 “수선은 가운데를 지나야 하므로 DB와 DC가 같다”고 판단했다.

오류가 시작된 지점은 계산 결과가 아니라 그림에 실제로 표시된 조건을 확인하기 전에 수선의 성질을 넓혀 적용한 것이었다. 직각 표시는 AD와 l이 만나는 각이 직각이라는 뜻일 뿐, D가 BC의 중점이라는 표시나 DB=DC라는 조건까지 뜻하지 않는다. 학생은 ‘수선’과 ‘수직이등분선’을 같은 것으로 읽고 있었다.

직각 표시가 알려 주는 것은 두 직선이 만나는 각이 직각이라는 사실이다. 선분을 똑같이 나눈다는 정보는 별도의 표시나 조건이 있어야 한다.

표시와 정의를 나란히 대조하기

교정할 때는 이미 적은 AD ⟂ l을 지우지 않고, 그 옆에 “D는 l 위의 교점”이라고 덧붙였다. 그다음 그림에서 확인할 수 있는 표시를 두 칸으로 나누어 적었다.

• 확인된 조건: AD와 l이 D에서 만나고, 직각 표시가 있다.
• 확인되지 않은 조건: DB=DC라는 같은 길이 표시, D가 선분 BC의 가운데라는 문장.

따라서 AD는 직선 l에 수직인 선분, 즉 l에 내린 수선이라고 설명할 수 있지만, 수직이등분선이라고 부를 수는 없었다. 학생은 계산을 멈추고 문제의 질문에 맞춰 “AD와 l은 직각으로 만난다”라고 한 줄로 정리했다. 구해진 답을 처음 조건에 다시 넣어 보아도, 직각이라는 조건만 확인될 뿐 DB와 DC가 같다는 결론은 검산되지 않았다.

도형을 돌려도 달라지지 않는 판단

다음 문제에서는 그림의 방향과 점 이름이 바뀌었다. 직선 m이 세로로 그려져 있고, 점 P에서 점 Q까지의 선분이 옆으로 뻗어 있었다. Q에 직각 표시가 있었으며, 문제는 “PQ가 m과 이루는 관계를 쓰고, 수선이 아닌 선분을 고르시오”라고 물었다.

학생은 이번에는 그림이 가로인지 세로인지 보지 않고 Q 주변의 표시부터 찾았다. “PQ와 m이 Q에서 직각으로 만나므로 PQ는 m에 수직이다. Q가 m 위에 있으므로 PQ는 m에 내린 수선이다”라고 적었다. 반면 m 위에 놓이지 않은 다른 선분은 아무리 비스듬히 그려져 있어도 수선으로 고르지 않았다. 도형의 배치가 달라져도 ‘직각 표시’와 ‘수선의 끝점이 직선 위에 있는지’를 차례로 확인한 것이다.

중간 풀이가 가려진 문제에서 다시 세우기

인천논현중학교와 만월중학교가 포함된 생활권 자료에서 가져온 변형 문제는 풀이 중간의 한 줄이 가려진 형태였다. 직선 n 위에 X, Y가 있고 점 Z에서 n으로 선분 ZY가 이어져 있었다. Y에는 직각 표시가 있었지만, X와 Y 사이의 길이 정보는 없었다. 질문은 “가려진 문장에 들어갈 수 없는 설명은 무엇인가”였다.

학생은 먼저 그림에 있는 것만 표시했다. Y∈n, ZY ⟂ n을 적고, “ZY는 n의 수선”이라는 문장을 복원했다. 이어 “Y가 X와 Z의 중점이다”라는 문장은 같은 길이나 중점 표시가 없으므로 넣을 수 없다고 설명했다. 점의 이름과 그림의 방향이 바뀌어도, 정의에 필요한 조건을 하나씩 대조하면 불필요한 후보를 제외할 수 있었다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

수업 후 학생은 새 그림을 받았다. 이번에는 직선 r이 기울어져 있고, 점 M에서 r 위의 점 N으로 선분 MN이 그려져 있었다. 직각 표시는 N에 있었고, 선분 r의 양쪽 길이는 표시되지 않았다. 학생은 도움 없이 먼저 “N은 r 위의 점”이라고 적은 다음, “MN과 r이 N에서 직각으로 만나므로 MN은 r에 내린 수선”이라고 썼다.

그 뒤 수직이등분선이라는 선택지를 보고 “양쪽 선분의 길이가 같다는 표시가 없으므로 선택하지 않는다”고 근거를 덧붙였다. 마지막으로 자신의 답을 원래 그림과 대조해 직각 표시, 직선 위의 끝점, 길이 표시의 유무를 각각 확인했다. 그림을 회전하거나 점 이름을 바꾸어도 수선 판단은 직관적인 방향이 아니라 주어진 조건과 정의에 의해 결정된다는 점을 스스로 재현한 장면이었다.

이처럼 만수지구중1수학과외에서는 정답만 고르는 대신, 학생이 첫 줄에서 어떤 조건을 읽었는지와 그 조건으로 어디까지 말할 수 있는지를 확인한다. 수직과 수선 문제에서는 직각 표시와 직선 위의 점을 먼저 찾고, 같은 길이나 중점 조건이 없는 경우에는 수직이등분선으로 확대하지 않는 것이 핵심이다.