구월지구 고등수학과외
구월지구 고등수학과외에서는 통계 단원을 계산 공식으로만 끝내지 않고, 자료를 바꿨을 때 평균과 표준편차가 어떻게 달라지는지 실제 풀이 과정에서 확인합니다. 미추홀외국어고등학교와 문일여자고등학교 학생들도 자주 접하는 유형처럼 보이지만, 단위를 바꾸거나 표본공간을 다시 쓰는 순간 첫 판단이 흔들리기 쉽습니다. 간석금호어울림아파트와 구월지구 생활권에서 수업할 때도 이 부분을 짧은 자료표로 재현해 봅니다.
평균 3.13을 기준으로 자료를 다시 쓰는 장면
학생에게 다음 자료를 제시했습니다.
1.13, 2.13, 3.13, 4.13, 5.13
자료의 평균은 3.13입니다. 각 값에서 3.13을 빼면 -2, -1, 0, 1, 2가 되고, 평균은 0으로 바뀝니다. 이처럼 평균을 기준으로 편차를 다시 적으면 표준편차 계산이 간단해집니다. 편차의 제곱합은 4+1+0+1+4=10이므로 모집단 표준편차는 √2입니다. 표본 표준편차를 구하는 문제라면 분모가 4가 되어 √(5/2)가 됩니다.
그런데 학생은 자료 전체에 100을 곱한 것으로 착각해 원래 표준편차에 100을 곱했습니다. 실제로 문제에서 한 변환은 각 자료에 10을 더하는 것이었습니다. 11.13, 12.13, 13.13, 14.13, 15.13으로 표본공간을 다시 써 보지 않고, 평균 3.13이라는 숫자만 보고 단위 변환처럼 처리한 순간 첫 오류가 생겼습니다.
첫 오류를 표준편차 부분에서 바로잡기
자료 전체에 같은 상수 10을 더하면 평균은 3.13에서 13.13으로 이동합니다. 하지만 각 자료와 새 평균의 차이는 그대로입니다. 예를 들어 첫 자료는 1.13에서 11.13으로, 평균은 3.13에서 13.13으로 바뀌므로 편차는 두 경우 모두 -2입니다. 나머지 편차도 -1, 0, 1, 2로 변하지 않습니다.
따라서 표준편차는 √2로 유지됩니다. 수업에서는 학생이 잘못 적은 ‘표준편차×100’을 지우게 하는 데서 끝내지 않고, 평균을 먼저 다시 계산하게 합니다. 새 평균을 구한 뒤 각 자료에서 평균을 빼고, 편차표를 나란히 놓으면 덧셈은 위치만 옮길 뿐 흩어진 정도를 바꾸지 않는다는 사실이 드러납니다. 평균 풀이의 첫 오류를 그대로 둔 채 표준편차 공식만 고치는 방식은 허용하지 않습니다.
조건을 바꾼 독립 적용
다음에는 같은 자료에 2를 곱하고 5를 더한 새 자료를 혼자 만들게 했습니다. 변환식은 2x+5이므로 평균은 2×3.13+5=11.26입니다. 각 편차는 원래 편차의 2배가 되어 표준편차는 2√2가 됩니다. 학생은 이번에는 새 자료를 직접 적지 않고도 평균과 표준편차의 변화를 설명해야 했습니다. 이후 변환을 -3x+1로 바꾸자 평균은 -8.39, 표준편차는 3√2라고 답했습니다. 음수 배율에서도 표준편차가 음수가 되지 않도록 절댓값을 취하는지 확인했습니다.
끝까지 남기는 검산
마지막에는 처음 자료에 10을 더한 결과를 원식에 다시 대입했습니다. 새 평균 13.13을 기준으로 한 편차가 원래와 같은지 확인하고, 제곱합이 두 자료에서 모두 10인지 직접 비교했습니다. 이어 2x+5 변환 자료의 편차를 계산해 각각 -4, -2, 0, 2, 4가 되는지 점검했습니다. 평균은 이동하지만 편차의 비율과 제곱합의 변화가 일정하다는 사실까지 맞아야 풀이를 마쳤습니다.
자주 묻는 내용
- 모든 자료에 같은 수를 더하면 평균은 어떻게 되나요?
더한 수만큼 이동하고 표준편차는 변하지 않습니다. - 모든 자료에 2를 곱하면 표준편차도 2배인가요?
네. 자료의 퍼짐이 2배가 되므로 표준편차도 2배입니다. - 자료에 음수를 곱하면 표준편차가 음수가 되나요?
아닙니다. 표준편차는 배율의 절댓값만큼 변합니다. - 평균 3.13을 먼저 구해야 하나요?
변환 전후를 비교하는 문제에서는 평균 변화와 편차 변화를 구분해 적는 것이 우선입니다. - 모집단과 표본 표준편차의 결괏값이 다른 이유는 무엇인가요?
제곱편차의 합은 같아도 나누는 수가 각각 자료 개수와 자료 개수보다 1 작기 때문입니다.