간석동 중1수학과외

표의 순서가 바뀌어도 반비례를 판단하는 방법

간석동과외 수업에서 학생은 간석금호어울림아파트가 있는 생활권의 한 중학교 수학 문제를 풀고 있었다. 문제에는 직사각형의 넓이가 24㎠로 일정할 때 가로의 길이와 세로의 길이 사이 관계를 표와 문장으로 나타내라는 조건이 제시되어 있었다. 석정중학교, 상인천중학교 등이 포함된 생활권에서 접할 수 있는 중1수학 문제였지만, 핵심은 학교나 지역이 아니라 두 양의 대응 관계를 정확히 읽는 일이었다.

학생이 적어 둔 첫 풀이

학생은 가로를 x, 세로를 y라고 쓴 뒤 표의 대응값을 옮겼다.

x	2	3	4	6
y	12	8	6	4

그리고 각 열을 계산해 2×12=24, 3×8=24, 4×6=24, 6×4=24라고 확인했다. 여기까지는 정확했다. 이어서 “가로가 커질수록 세로도 커지는 관계이므로 y=4x”라고 적었다. 표의 숫자들을 곱해 일정한 값을 확인하고도, 두 양이 함께 증가해야 한다는 이전 규칙을 그대로 적용한 것이다.

“오답은 계산 결과보다, 표를 읽은 뒤 관계의 종류를 결정한 순간부터 시작됐어.”

이 판단이 최초의 어긋남이었다. 반비례에서는 한 양이 커질 때 다른 양이 작아질 수 있으며, 두 양의 곱이 일정한지가 핵심이다. 학생은 이미 모든 대응값의 곱이 24라는 중요한 근거를 적어 두었지만, 그 근거와 맞지 않는 식을 선택했다.

한 줄의 기준을 다시 세우다

교사는 기존 계산을 지우지 않고, 표 옆에 “x와 y의 곱이 항상 같은가?”라고 적게 했다. 학생은 각 열을 다시 연결해 xy=24를 만들고, 이를 y에 관한 식으로 바꾸어 y=24/x라고 썼다. 따라서 반비례상수는 24이고, x가 2에서 4로 두 배가 될 때 y는 12에서 6으로 절반이 된다.

문장의 순서를 바꾸어 “세로의 길이 y를 정하면 가로의 길이 x가 정해진다”라고 제시해도 판단은 같아야 한다. 이번에는 y를 먼저 읽어도 x=24/y가 되고, 곱은 여전히 24이다. 학생은 식의 모양이 달라졌을 뿐 관계의 기준은 달라지지 않는다고 한 줄로 설명했다.

표에서 그래프로, 경계 조건까지

다음 문제는 “x와 y는 양의 수이고 xy=24이다. x가 1 이상 6 이하일 때 표와 그래프로 나타내라”는 형식이었다. 학생은 x=1, 2, 3, 4, 6을 넣어 y=24, 12, 8, 6, 4를 구했다. 그리고 x=0은 표에 넣지 않았다. 24를 0으로 나눌 수 없으므로 x=0은 이 조건에서 사용할 수 없다고 표시했다. 음수를 억지로 포함하지 않고 문제에서 정한 양의 수 조건도 함께 확인했다.

이번에는 표가 아니라 다음 문장으로 제시되었다. “한 개에 24g씩 들어 있는 일정한 양을 여러 봉지에 똑같이 나누어 담을 때, 봉지 수와 한 봉지의 양 사이 관계를 나타내라.” 학생은 봉지 수를 x, 한 봉지의 양을 y로 정하고 xy=24, 즉 y=24/x라고 적었다. 표에서 식으로 바꾸는 과정에서 “두 값의 곱이 일정하므로 반비례이고, 그 일정한 값이 반비례상수”라는 근거도 덧붙였다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

간석동중1수학과외 수업의 끝부분에는 새 조건이 주어졌다. “두 양 x, y가 양의 수이고, y가 x에 반비례한다. x=3일 때 y=10이다. x=5일 때 y를 구하라.” 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 xy=3×10=30이라고 반비례상수를 정했다. 이어 5y=30, y=6으로 계산했다.

학생은 여기서 멈추지 않고 원래 조건에 대입해 3×10=30, 5×6=30을 나란히 적었다. “두 대응값의 곱이 같은 30이므로 반비례 관계가 성립한다. x와 y의 위치가 문장에서 바뀌어도 곱과 양의 조건을 확인하면 된다. x=0은 나눌 수 없어 제외한다.” 처음 표에서 했던 실수를 스스로 떠올리면서도, 이번에는 증가·감소만 보고 식을 정하지 않고 대응값의 곱과 조건을 근거로 판단했다.