간석동 고1수학과외
겹쳐 센 경우를 분리해 다시 세는 간석동 고1수학과외
선택형 경우의 수 문제에서 학생은 두 조건에 해당하는 사람을 각각 세고 합쳤다. 답은 빠르게 나왔지만, 한 사람이 두 조건에 동시에 포함될 수 있다는 점을 놓쳐 중복 계산이 생겼다.
기준이 겹친 순간을 찾아내다
풀이를 지우지 않고 각 경우가 무엇을 기준으로 나뉘었는지 옆에 짧게 적게 했다. ‘A에 해당하는 경우’와 ‘B에 해당하는 경우’를 구분한 뒤, 두 조건을 동시에 만족하는 경우가 있는지 먼저 확인했다. 핵심은 계산을 다시 하는 것이 아니라 분류 기준 자체가 서로 겹치는지 살피는 것이었다.
각 경우가 서로 겹치지 않고, 빠진 경우도 없는가?
이 질문을 기준으로 삼자 학생은 같은 사람을 두 번 센 부분을 찾아냈다. 이후에는 경우를 합치기 전에 중복 여부를 먼저 판단하고, 겹치는 부분은 한 번만 반영했다.
질문 방향을 바꾼 선택 문제
다음에는 ‘조건 A 또는 조건 B에 해당하는 사람의 수’를 구하는 대신, 전체 인원과 두 조건을 동시에 만족하는 인원이 주어진 상황에서 조건 A와 조건 B 중 한쪽만 만족하는 사람의 수를 묻게 했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 합집합을 구하는 방향에서 겹치는 부분을 제외해 필요한 경우를 복원하는 방향으로 바꾼 것이다.
학생은 먼저 전체 경우를 세 부분, 즉 A만 해당하는 경우, B만 해당하는 경우, 두 조건 모두에 해당하는 경우로 나누었다. 그 뒤 문제에서 주어진 수를 각 부분에 대응시켜 누락 없이 정리했다.
역문제에서 분류 기준 확인하기
- A에만 해당하는 경우
- B에만 해당하는 경우
- A와 B에 동시에 해당하는 경우
마지막에는 결과값을 계산하는 대신, 제시된 전체 수와 각 부분의 합이 일치하는지 확인하게 했다. 또한 두 조건의 교집합이 전체 조건에 포함될 수 있는 범위인지 살펴보게 하여, 단순히 답을 맞힌 것이 아니라 경우 분류가 실제 조건을 보존하는지 검증했다.
간석4거리 생활권에서 진행한 이 사례의 변화는 계산 속도가 아니라 분류의 독립성에 있었다. 학생은 새로운 경우의 수 문제에서도 각 경우의 기준과 중복 가능성을 먼저 점검하는 습관을 보였다.