간석동 고3수학과외

경계에서 달라지는 정규분포의 읽기

문제는 X가 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따를 때 P(50≤X≤a)=0.3413을 만족하는 a를 구하는 것이었다.

학생은 곧바로 표준화하여 P(0≤Z≤z)=0.3413이라고 적고, 표준정규분포표에서 z=1을 찾아 a=60이라고 결론냈다. 이 계산 자체는 a가 평균보다 큰 경우에는 맞다. 그러나 풀이 첫 줄에서 이미 경계를 한쪽 방향으로 정해 버린 것이 문제였다. 문제의 조건만으로는 a가 50보다 작은 경우도 먼저 배제해야 하므로, 정규분포의 구간을 확률로 바꾸기 전에 사건의 위치부터 확인해야 했다.

확률표보다 먼저 표시한 것

학생의 풀이에서 최초로 어긋난 줄은 표준화 계산이 아니라 구간을 [50,a]로 고정한 부분이었다. a가 50보다 크면 평균에서 오른쪽으로 뻗는 구간이지만, a가 50보다 작으면 실제 사건은 a≤X≤50이 된다. 두 경우 모두 구간의 길이에 해당하는 확률은 0.3413이지만, 부등호의 방향과 끝점의 위치를 같은 방식으로 다룰 수는 없다.

그래서 종이에 평균 50을 대칭축으로 표시하고, a>50과 a<50을 두 줄로 나누었다. 이어 일반적인 경우와 경계에 걸리는 경우를 구분했다. a>50이면

P(50≤X≤a)=P(0≤Z≤(a-50)/10)=0.3413

이므로 (a-50)/10=1, a=60이다. 반대로 a<50이면 문제의 구간은 a≤X≤50이고, 표준화한 끝점은 (a-50)/10이다. 이때 구간확률의 크기는 같아도 z값은 -1이므로 a=40이 된다. 따라서 조건에 방향이 따로 제시되지 않았다면 a=40 또는 a=60이 모두 가능하고, “a>50” 같은 추가 조건이 있어야 하나로 결정된다.

잘못된 한 줄만 다시 고치기

모든 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 위험했던 줄 옆에 ‘평균 기준으로 좌우 분리’라고 적게 했다. 그다음 a>50, a<50을 각각 표시한 뒤 필요한 부분만 계산했다. 정규분포에서는 사건 자체와 그 사건의 확률값을 분리해서 적어야 한다는 점도 확인했다. 마지막 검산은 전체 표를 다시 찾는 대신, 얻은 끝점 40과 60을 원래 구간에 대입하여 각각 평균에서 표준편차 한 개만큼 떨어졌는지 확인하는 방식으로 제한했다.

해설을 가린 기출 재풀이에서는 조건 하나를 일부러 삭제했다. 학생은 처음에는 익숙한 오른쪽 구간을 먼저 떠올렸지만, 곧 평균을 기준으로 두 방향을 나누고 “추가 조건이 없으면 해가 두 개일 수 있다”고 적었다. 이 문장이 이전에는 없던 반례였다. 정답을 맞히는 것보다, 어떤 조건이 사라졌을 때 결론이 바뀌는지를 직접 만든 점이 중요했다.

표현을 바꾸어도 남은 판단

다음 문제는 수치를 바꾸는 대신 질문의 방향을 뒤집었다. X가 평균 80, 표준편차 12인 정규분포를 따르고 P(a≤X≤80)=0.3413일 때 a를 구하게 했다. 이번에는 평균이 오른쪽 끝점으로 제시되었다. 학생은 이를 보고 곧바로 P(-1≤Z≤0)으로 쓰지 않고, 먼저 “a는 평균의 왼쪽”이라고 사건을 말로 확인했다. 따라서 (a-80)/12=-1, a=68을 얻었다.

문항 순서를 섞은 실전 세트에서도 학생은 정규분포표의 수치를 먼저 찾지 않았다. 평균을 대칭축으로 긋고 구간의 양 끝을 별도 줄에 기록했다. 한 문제에서는 P(X≥a)=0.1587이라는 조건을 보고 a가 평균의 오른쪽임을 판단했고, 다른 문제에서는 P(X≤a)=0.1587에서 a가 평균의 왼쪽임을 구분했다. 같은 0.1587이라도 사건의 방향이 다르면 경계가 달라진다는 점을 식으로 설명했다.

마지막으로 중간 계산 한 줄을 가린 상태에서 풀이를 다시 구성했다. 학생은 “확률표를 보기 전에 평균과 구간의 위치를 확인한다”고 먼저 적고, 경계 전후의 후보를 각각 세웠다. 이어 표준화한 값이 -1 또는 1인지 확인한 뒤 원래 조건에 재대입했다. 시간이 줄어든 상황에서도 이 순서를 생략하지 않았고, 간석동고3수학과외에서 확인한 정규분포 경계 판단이 새로운 표현에서도 유지되었다.