광주북구 중3수학과외
광주북구 중3수학과외, 중근을 ‘같은 두 해’로 읽는 연습
광주북구에서 중3수학을 지도할 때, 중근 문제는 계산보다 표현을 해석하는 과정에서 자주 갈립니다. 용두주공아파트1차가 있는 생활권이나 더샵광주포레스트작은도서관 인근에서 복습하는 학생도 다음과 같은 유형을 만날 수 있습니다. 신용중학교, 용두중학교 등이 포함된 생활권의 문제라고 해도 핵심은 하나입니다. 중근은 서로 다른 두 값이 아니라 같은 값이 두 번 해가 되는 경우라는 점입니다.
나란히 적힌 두 식에서 생긴 혼동
주말 복습에서 학생은 다음 두 문제를 연달아 풀었습니다.
① x²－8x＋16＝0의 두 근을 구하여라.
② x²－8x＋16＝0이 중근을 가질 때, 그 중근을 구하여라.
학생의 풀이 기록은 이렇게 남아 있었습니다.
- ① (x－4)(x－4)＝0이므로 x＝4, 4
- ② 앞 문제에서 두 해를 이미 구했으므로 중근은 두 개가 아니라 하나라고 적고 x＝4
계산 자체는 맞았습니다. 그러나 학생은 표현이 달라진 순간, ‘두 근’과 ‘중근’이 어떤 관계인지 확인하지 않고 문제의 결론부터 정했습니다. 특히 두 번째 문장을 보고 중근을 별도의 새로운 값처럼 생각할 가능성이 있었습니다. 이때 주목할 대상은 계산 결과가 아니라 해를 결정하는 식과 문제의 조건입니다.
바꾼 것은 해석 한 가지
풀이를 다시 쓸 때는 먼저 식을 그대로 적고, 같은 인수가 반복되는지 확인했습니다.
(x－4)(x－4)＝0
두 인수가 모두 x－4이므로 첫 번째 인수에서 얻는 해도 x＝4, 두 번째 인수에서 얻는 해도 x＝4입니다. 따라서 ‘두 근’이라는 말은 서로 다른 두 수 4와 다른 수를 뜻하지 않습니다. 같은 해 x＝4가 두 번 반복되어 나타난다는 뜻입니다.
이후 학생은 처음에 맞게 계산한 식은 그대로 두고, 결론만 다음처럼 고쳤습니다.
두 근은 4와 4이며, 두 근이 서로 같으므로 중근은 x＝4이다.
이 교정은 풀이 전체를 다시 바꾼 것이 아닙니다. 표현이 바뀌었을 때 해 하나를 생략하거나 새 값으로 만들지 않고, 필요한 식과 조건을 먼저 확인한 뒤 같은 관계로 해석한 것입니다. 광주북구과외 수업에서도 이처럼 최초 판단이 나온 지점을 찾아 한 문장만 바로잡으면 풀이의 흐름을 보존할 수 있습니다.
표현을 바꾼 문제에 적용하기
며칠 뒤에는 배열을 그대로 반복하지 않은 문제를 제시했습니다.
방정식 (y＋3)²＝0의 해가 두 번 기록되어 있다. 이 방정식의 중근을 쓰고, 왜 같은 값이 두 번 나타나는지 설명하여라.
이번에는 인수분해 모양이 아니라 제곱식으로 표현되어 있고, 문자와 부호도 달라졌습니다. 학생은 먼저
(y＋3)²＝(y＋3)(y＋3)＝0
이라고 바꾸어 적은 뒤, 두 인수가 모두 y＋3임을 표시했습니다. 그러므로 두 번 얻는 값은 모두 y＝－3이고, 중근은 y＝－3입니다. 학생은 “해를 두 개 쓰는 형식이더라도 값이 각각 다를 필요는 없으며, 여기서는 같은 해가 반복된다”고 설명했습니다.
이번 문제에서는 ‘중근을 구하여라’가 아니라 ‘같은 값이 두 번 나타나는 이유를 설명하여라’라고 물었습니다. 질문 방향이 달라졌지만, 학생은 새 공식을 찾지 않고 반복되는 해의 의미만 확인했습니다. 이것이 같은 세부개념 안에서 표현을 전환한 사례입니다.
힌트 없이 확인한 마지막 기록
마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
어떤 방정식의 해를 순서 없이 적으니 7, 7이었다. 이 방정식이 중근을 갖는다는 말의 의미를 설명하고, 다음 식에서 그 중근을 구하여라.
(z－7)(z－7)＝0
학생은 먼저 “해를 두 번 적었지만 두 값은 서로 다른 해가 아니라 같은 해가 반복된 것”이라고 썼습니다. 이어서 식의 두 인수가 모두 z－7임을 확인하고 z＝7을 얻었습니다. 마지막으로 구한 값을 원래 식에 대입했습니다.
(7－7)(7－7)＝0×0＝0
또한 두 인수가 같은 식이므로 두 번째에서도 똑같이 z＝7이 나온다고 적었습니다. 별도의 힌트 없이 식에서 반복되는 해를 확인하고, 같은 값을 원래 방정식에 대입해 검산하는 순서를 스스로 재현한 것입니다. 광주북구중3수학과외에서는 이런 독립 검증까지 마쳐야 중근의 의미를 단순 암기가 아니라 실제 풀이 기준으로 사용할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중3 점검 기준
누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.