광주북구 고2수학과외







광주북구과외에서 먼저 확인한 오답 장면
학생은 \(f(x)=\dfrac{x+1}{(x-2)(x+1)^2}\)에서 \(x=2\)일 때 좌극한과 우극한을 모두 \(+\infty\)라고 적었다. 하지만 분모가 0에 가까워질 때는 분자의 부호와 분모의 부호를 좌우에서 따로 살펴야 한다.
분모가 0이 되는 점의 부호 분석
\(x=2\) 근처에서 \(x+1>0\), \((x+1)^2>0\)이다. 따라서 부호를 결정하는 요소는 \(x-2\)이다.
| 접근 방향 | \(x-2\)의 부호 | 함숫값 |
|---|---|---|
| \(x\to2^-\) | 음수 | \(-\infty\) |
| \(x\to2^+\) | 양수 | \(+\infty\) |
그러므로
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty \]
기호를 바꾼 재구성으로 최종 검증
새 식에 적용하기
이번에는 \(g(x)=\dfrac{x-3}{(x+2)^2(x-1)}\)에서 \(x=1\)을 살펴보자. \(x=1\) 근처에서 \(x-3<0\), \((x+2)^2>0\)이므로 \(x-1\)의 부호가 전체 결과를 좌우한다.
\(x\to1^-\)이면 분모의 \(x-1<0\)이므로 음수 나누기 음수인 \(+\infty\)가 된다. \(x\to1^+\)이면 분모가 양수이므로 \(-\infty\)가 된다.
\[ \lim_{x\to1^-}g(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}g(x)=-\infty \]
무한대 방향과 혼동하지 않기
\(x\to a^-\), \(x\to a^+\)는 분모가 0이 되는 점 \(a\)의 왼쪽과 오른쪽에서 접근하는 상황이다. 반면 \(x\to\infty\), \(x\to-\infty\)는 정의역의 양끝으로 가는 상황이므로 구분해야 한다. 좌우극한에서는 먼저 인수별 부호표를 작성한 뒤 \(+\infty\)와 \(-\infty\)를 결정하면 된다.
광주북구고3수학과외에서는 계산을 서두르기보다 분자와 분모의 부호를 방향별로 기록해 같은 오류가 반복되지 않도록 점검한다.