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광주북구 고2수학과외

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광주북구과외에서 먼저 확인한 오답 장면

학생은 \(f(x)=\dfrac{x+1}{(x-2)(x+1)^2}\)에서 \(x=2\)일 때 좌극한과 우극한을 모두 \(+\infty\)라고 적었다. 하지만 분모가 0에 가까워질 때는 분자의 부호와 분모의 부호를 좌우에서 따로 살펴야 한다.

분모가 0이 되는 점의 부호 분석

\(x=2\) 근처에서 \(x+1>0\), \((x+1)^2>0\)이다. 따라서 부호를 결정하는 요소는 \(x-2\)이다.

접근 방향\(x-2\)의 부호함숫값
\(x\to2^-\)음수\(-\infty\)
\(x\to2^+\)양수\(+\infty\)

그러므로

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty \]

기호를 바꾼 재구성으로 최종 검증

새 식에 적용하기

이번에는 \(g(x)=\dfrac{x-3}{(x+2)^2(x-1)}\)에서 \(x=1\)을 살펴보자. \(x=1\) 근처에서 \(x-3<0\), \((x+2)^2>0\)이므로 \(x-1\)의 부호가 전체 결과를 좌우한다.

\(x\to1^-\)이면 분모의 \(x-1<0\)이므로 음수 나누기 음수인 \(+\infty\)가 된다. \(x\to1^+\)이면 분모가 양수이므로 \(-\infty\)가 된다.

\[ \lim_{x\to1^-}g(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}g(x)=-\infty \]

무한대 방향과 혼동하지 않기

\(x\to a^-\), \(x\to a^+\)는 분모가 0이 되는 점 \(a\)의 왼쪽과 오른쪽에서 접근하는 상황이다. 반면 \(x\to\infty\), \(x\to-\infty\)는 정의역의 양끝으로 가는 상황이므로 구분해야 한다. 좌우극한에서는 먼저 인수별 부호표를 작성한 뒤 \(+\infty\)와 \(-\infty\)를 결정하면 된다.

광주북구고3수학과외에서는 계산을 서두르기보다 분자와 분모의 부호를 방향별로 기록해 같은 오류가 반복되지 않도록 점검한다.

광주북구 고2수학과외 학부모 후기

단원평가를 본 날 아이가 시험지를 그냥 가방에 넣지 않고, 확률 문제 한 칸을 잠시 들여다보더라고요. 원래는 맞았는지 틀렸는지만 확인하고 지나가는 편이라 무슨 일인가 싶어 옆에서 봤는데, 가능한 경우를 작은 표처럼 나눠 적고 겹치는 항목에는 선을 그어 지우고 있었어요. 예예전에는 공부를 끝내면 그날 못 본 부분까지 한꺼번에 덮어두곤 했거든요. 그런데 이번에는 문제 전체를 다시 붙잡기보다 헷갈린 부분만 골라 경우를 나누어 확인했습니다. 광주북구 수학과외 이야기를 나누며 집에서 지켜보던 중에도 이런 장면이 보여서 조금 의외였어요. 주말에 시험 범위를 다시 펼쳤을 때도 같은 확률 문제를 꺼내더니, 이번에는 표의 칸을 먼저 만들고 겹치는 경우를 하나씩 지웠어요. 마지막에는 필요한 부분 옆에만 짧게 체크해 두고 자료를 정리했습니다.

★★★★☆학부모 후기

방학 첫 주 오후, 아이가 공부를 마쳤다길래 지나가다 책상 위를 보게 됐어요. 해설지와 자기 풀이를 펼쳐 놓고 답 전체를 대조하는 게 아니라, 두 풀이가 처음 어긋난 줄만 손가락으로 짚어 보고 있더라고요. 광주북구 수학과외를 알아보면서도 이런 장면을 직접 보게 될 줄은 몰랐습니다. 전에는 틀린 문제를 확인하고도 어디서부터 다시 봐야 할지 정하지 않은 채 다음 문제로 넘어가는 일이 많았거든요. 그런데 그날은 풀이를 한 줄씩 살피다가 다른 부분을 찾아 그 근처에 표시를 해두고 한참 비교했어요. 이후 교재를 다시 꺼내든 날에도 같은 문제가 눈에 들어왔는지, 해설과 자기 풀이가 달라지는 지점을 먼저 찾았습니다. 전에 남겨둔 표시도 지우지 않고 그대로 둔 채 그 한 줄부터 살펴보는 모습이 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

숙제가 많으면 시작하기도 전에 답지를 보고 싶었는데, 선생님께서 광주북구 수업에서 아이가 혼자 이어 갈 시간을 남겨 두도록 분량을 조절해 주셨습니다. 시험 기간에는 빠르게 나간 진도 대신 복습과 오답 확인을 했고, 새 학기 일정이 바뀌어도 공부 계획을 다시 세우는 일이 전보다 편해졌다고 합니다.

★★★★★학부모 후기

광주북구에서 과외를 시작한 뒤 아이가 수업이 끝나면 그날 배운 내용을 스스로 다시 펼쳐보는 모습이 눈에 띄었습니다. 수행평가와 시험공부가 겹친 주에도 선생님이 질문할 내용을 함께 정리하고, 꼭 복습할 부분과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 부담을 덜 느끼는 듯했습니다. 오답을 따로 모아 보니 한 문제에 막혀 수학 전체를 미루는 일도 조금씩 줄었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 일주일 전 저녁에도 예전처럼 수학 공부를 미루고 싶었지만, 광주북구에서 수업을 시작한 뒤에는 책상에 앉는 시간이 조금씩 빨라졌습니다. 어려운 문제를 보면 답지부터 찾던 저에게 선생님은 중간중간 궁금한 점을 편하게 물어보면서도 스스로 생각할 시간을 주셨고, 숙제와 복습도 부담스럽지 않게 챙겨 주셨습니다. 시험기간에도 하던 흐름을 크게 놓치지 않게 된 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기