신용동 중2수학과외

두 문장을 두 방정식으로 바꾸는 연립일차방정식 풀이

신용동과외 수업에서 학생은 두 물건의 가격을 구하는 연립일차방정식 문항을 풀고 있었다. 신용중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 시험형 문항처럼, 문제에는 물건의 이름과 가격 관계가 문장으로만 제시되어 있었다. 신용도서관 인근 생활권에서 자주 보이는 할인·구매 상황을 소재로 삼았지만, 핵심은 생활 이야기가 아니라 두 조건을 각각 식으로 옮기는 과정이었다.

문구류 두 종류를 합쳐 7개 샀더니 16,000원이고, 첫 번째 물건 2개의 가격은 두 번째 물건 1개의 가격보다 2,000원 많다. 각 물건 하나의 가격을 구하여라.

학생은 먼저 첫 번째 물건의 가격을 x원, 두 번째 물건의 가격을 y원이라고 적었다. 이어서 ‘합쳐 7개’에 밑줄을 긋고 x+y=7을 썼다. 그러나 가격 조건을 옮길 때에는 문장의 순서를 그대로 따라가며 2x+y=2000이라고 적었다. 두 물건의 가격을 더한 식과 개수 조건을 한 줄씩 세우기는 했지만, 어떤 양이 몇 개씩인지 표시하지 않은 채 계산으로 넘어갔다.

계산보다 먼저 어긋난 부분

오류는 가감 계산 중에 생긴 것이 아니었다. 학생이 두 번째 조건에서 ‘2개의 가격’이라는 말과 ‘두 번째 물건 1개의 가격’을 같은 종류의 합으로 보지 않고, 2,000이라는 차이만 따로 떼어 식의 오른쪽에 놓은 판단이 최초의 어긋남이었다. 실제 문장은 두 번째 물건 하나보다 첫 번째 물건 두 개의 가격이 2,000원 많다는 뜻이므로, 가격끼리 비교해야 한다.

교사는 이미 적어 둔 미지수의 뜻과 첫 번째 식은 그대로 두고, 두 번째 문장에 포함된 양을 양쪽에 나누어 적게 했다.

첫 번째 물건 2개의 가격 = 2x
두 번째 물건 1개의 가격 = y

따라서 ‘2x가 y보다 2,000원 많다’는 말은 2x=y+2000 또는 2x-y=2000으로 나타낼 수 있다. 학생은 문장을 식으로 바꾼 뒤에야 두 식의 항을 비교했다.

• x+y=7
• 2x-y=2000

두 식을 더하면 y가 없어지므로, 학생은 가감할 항을 따로 찾지 않고 계수와 부호를 먼저 확인했다. 두 식을 더해 3x=9000, 따라서 x=3000을 얻었다. 첫 번째 식에 대입하여 y=4000을 구한 다음, 두 번째 식에도 넣어 2×3000-4000=2000인지 확인했다.

문장 대신 표에서 시작한 변형 문제

같은 개념을 다른 모양으로 확인하기 위해 이번에는 문장형이 아닌 표를 제시했다. 표에는 상품 A와 B의 개수, 전체 금액, 가격 관계가 각각 나뉘어 있었다.

구분	상품 A	상품 B	합계
수량	3개	2개	16개
가격 조건	상품 A 3개의 가격	상품 B 2개의 가격보다 1,000원 적음

학생은 표의 ‘수량’과 ‘가격 조건’을 섞지 않고, 상품 A 하나의 가격을 x원, 상품 B 하나의 가격을 y원으로 정했다. 전체 수량을 가격식으로 잘못 읽지 않도록 표의 각 칸에 ‘개수’와 ‘원’을 표시했다. 표의 조건에 따라 3x+2y=16은 단위가 맞지 않음을 발견하고, 실제 전체 금액이 16,000원이라는 조건으로부터 3x+2y=16000을 세웠다. 또 ‘A 3개의 가격이 B 2개의 가격보다 1,000원 적다’를 3x=2y-1000으로 옮겼다.

이번에는 두 식을 무조건 더하지 않았다. 두 번째 식을 3x-2y=-1000으로 정리한 뒤 첫 번째 식과 더하면 6x=15000이 되므로, x=2500을 구했다. 첫 식에 대입하여 2y=8500, y=4250을 얻었다. 학생은 답을 적기 전 ‘A 3개의 가격은 7,500원, B 2개의 가격은 8,500원’이라고 다시 말해 가격 관계가 1,000원 차이인지 확인했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 줄

한 주 뒤 신용동중2수학과외 수업에서 학생에게 유형 이름을 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했다.

두 수의 합은 13이고, 큰 수의 2배에서 작은 수의 3배를 뺀 값은 1이다. 두 수를 구하여라.

학생은 곧바로 큰 수를 x, 작은 수를 y로 정한 뒤, ‘합’과 ‘2배에서 3배를 뺀 값’을 각각 다른 조건으로 표시했다. x+y=13, 2x-3y=1을 스스로 세웠고, 첫 식에서 x=13-y를 얻어 두 번째 식에 대입했다. 2(13-y)-3y=1에서 y=5, x=8을 구한 뒤, 합은 13이고 2×8-3×5=1이라고 설명했다.

이번 풀이에서 학생은 식을 세우기 전에 두 미지수의 뜻을 문장과 대조했고, 계산 후에는 두 원래 조건을 각각 검산했다. 문장의 순서나 문제의 겉모양이 달라도 조건을 분리해 방정식으로 만드는 판단을 도움 없이 재현한 장면이었다.