신용동 고등수학과외
신용동고등수학과외에서 지수부등식을 다룰 때 학생들이 자주 멈추는 지점은 계산보다 밑의 크기에 따라 부등호 판단이 달라진다는 사실이다. 빛고을고등학교 학생과 함께 수업하던 날에도 간단한 log₂(4)를 보고 값만 2라고 적은 뒤, 지수부등식에서 같은 방식으로 방향을 유지하려는 장면이 나왔다. 신용도서관에서 정리한 오답 노트를 펼쳐 보니 그래프의 교점과 증가·감소 방향을 표시하지 않은 채 식만 빠르게 변형한 흔적이 남아 있었다.
log₂(4)에서 시작한 밑의 조건 확인
학생은 log₂(4)=2를 정확히 계산했다. 그러나 2ˣ>2³을 풀면서 밑 2가 1보다 크다는 조건을 적지 않았고, 이후 밑이 1보다 작은 식에서도 부등호를 그대로 두었다. 처음 잘못된 순간은 지수함수의 증가·감소를 확인하지 않고 지수를 비교한 때였다. 계산 결과가 익숙하게 보이자 조건 확인을 생략한 것이다.
교정할 때는 긴 풀이를 다시 쓰게 하지 않고 문제 위 여백에 세 줄을 먼저 적게 했다.
- 밑은 양수인가?
- 밑은 1보다 큰가, 작은가?
- 진수와 지수의 비교가 같은 방향으로 가는가?
그다음 밑이 2인 경우와 1/2인 경우를 나란히 놓았다. 2ˣ>2³에서는 함수가 증가하므로 x>3이지만, (1/2)ˣ>(1/2)³에서는 함수가 감소하므로 x<3이다. 학생은 두 식의 그래프를 직접 간단히 그려 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 높아지는지, 낮아지는지를 확인했다. ‘부등호가 외워서 뒤집히는 것’이 아니라 함수의 방향을 대수식에 반영하는 과정이라는 점을 말로 설명하게 하자 판단이 안정되기 시작했다.
조건을 숨긴 새 문항에서 복원하기
다음에는 문제의 안내 문장을 가리고 log₂(4)만 제시했다. 학생은 먼저 밑 2가 1보다 크고 진수 4가 양수라는 조건을 되살렸다. 이후 2ˣ≥4를 x≥2로 바꾸고, 밑을 1/3으로 바꾼 (1/3)ˣ≥(1/3)²에서는 x≤2라고 독립적으로 처리했다. 숫자를 4와 2에서 9와 3으로 바꾸고, 등호가 포함된 형태로 문항 길이를 늘렸을 때도 먼저 밑의 위치를 확인한 뒤 풀이를 시작했다.
조금 더 복잡한 식에서는 밑을 같게 만든 뒤 비교하도록 했다. 예를 들어 4ˣ<8을 2²ˣ<2³으로 바꾸면 밑 2가 증가함을 확인하고 2x<3, 즉 x<3/2를 얻는다. 반대로 (1/4)ˣ≤8은 밑을 2로 통일하는 과정에서 지수가 음수가 될 수 있어, 단순히 숫자만 비교하지 않고 함수의 감소 방향을 함께 살펴야 했다.
마지막에는 그래프와 원식으로 확인하기
답을 낸 뒤에는 별도의 검증을 실시했다. 2ˣ≥4의 경계값 x=2를 원식에 대입해 등호가 성립하는지 확인하고, x=3을 넣어 부등식이 맞는지도 살폈다. 이어 y=2ˣ와 y=4를 머릿속 그래프로 대조해 교점 오른쪽이 해라는 사실을 확인했다. 밑이 1/2인 식에서는 그래프가 내려가므로 교점 왼쪽이 해가 되는지 다시 점검했다. 이 검산은 답의 숫자만 맞추는 절차가 아니라 부등호 방향을 결정한 근거를 되짚는 과정이었다.
지수부등식의 답을 쓰기 전, 밑의 범위와 함수의 증가·감소 방향을 먼저 기록하면 부등호 판단이 흔들릴 때 되돌아갈 기준이 생긴다.
자주 묻는 질문
- 밑이 1이면 어떻게 하나요?
밑이 1인 지수식은 항상 1이므로 일반적인 지수함수의 증가·감소 비교를 적용하지 않는다. - 밑이 같지 않으면 바로 지수를 비교해도 되나요?
먼저 공통 밑으로 바꿀 수 있는지 확인하고, 변환 뒤 밑이 1보다 큰지 작은지를 판단해야 한다. - 로그식에서도 부등호가 뒤집히나요?
로그의 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 로그함수가 감소하므로 양변을 로그로 바꿀 때 방향이 달라진다. - 그래프를 꼭 그려야 하나요?
매번 정밀한 그래프가 필요한 것은 아니지만, 증가·감소 방향이 헷갈릴 때는 간단한 그래프가 오류 원인을 빠르게 보여 준다. - 경계값은 왜 대입하나요?
등호가 포함되는지 확인하고 해의 시작점 또는 끝점이 올바른지 검증할 수 있기 때문이다.