신용동 고2수학과외







최종 검산에서 넓이가 음수가 나온다면 적분 계산보다 먼저 함수가 x축 위와 아래 중 어디에 놓이는지 확인해야 한다. 신용동과외에서 넓이 문제를 다룰 때도 부호표는 출발점이지만, 구간별 부호를 넓이식의 부호로 정확히 바꾸는 과정이 핵심이다.
검산에서 드러난 오류
함수 \(f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)\)와 구간 \([-1,2]\)를 살펴보자. 학생은 인수의 부호를 정리한 뒤 다음과 같이 적분식을 세웠다.
\[ \int_{-1}^{2}f(x)\,dx \]
그러나 이 값은 x축과 함수 사이의 넓이가 아니다. 함수가 구간 전체에서 x축 위에 있지 않기 때문이다.
부호표로 확인하는 위치
| 구간 | \(x-1\) | \(x+1\) | \(x-2\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|---|---|
| \((-1,1)\) | - | + | - | + |
| \((1,2)\) | - | + | - | - |
\([-1,1]\)에서는 그래프가 x축 위에 있고, \([1,2]\)에서는 x축 아래에 있다. 따라서 두 구간을 나누어야 한다.
부호를 넓이식으로 바꾸기
함수가 음수인 구간의 정적분은 넓이에 음의 값으로 포함되므로 앞에 마이너스를 붙인다.
\[ \text{넓이} =\int_{-1}^{1}f(x)\,dx-\int_{1}^{2}f(x)\,dx \]
전개하면 \(f(x)=x^3-2x^2-x+2\)이고, 한 부정적분은
\[ F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x \]
이다. 따라서
\[ \int_{-1}^{1}f(x)\,dx=\frac{8}{3},\qquad \int_{1}^{2}f(x)\,dx=-\frac{5}{12} \]
이므로 실제 넓이는
\[ \frac{8}{3}-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{37}{12} \]
이다.
그림 없이도 가능한 조건
정확한 그래프를 직접 그리지 못해도 근의 순서를 표시하고 각 인수의 부호를 조사하면 x축 위아래를 판단할 수 있다. 다만 근 사이에서 부호가 바뀌는지 확인해야 하며, 중근처럼 부호가 바뀌지 않는 근도 구별해야 한다.
다음 문제에 적용할 판단 기준
- 함수의 영점을 작은 순서대로 정리한다.
- 각 구간에서 함수의 부호를 확인한다.
- 함수가 음수인 구간의 적분 앞에 마이너스를 붙인다.
- 계산 후 넓이가 양수인지 검산한다.
부호표는 그래프를 대신하는 계산 도구가 아니라, 그래프의 위치를 확인해 넓이식으로 연결하는 도구다. 이 연결이 정확하면 고차식도 그림에만 의존하지 않고 넓이를 구할 수 있다.