삼각동 중3수학과외
삼각동 중3수학과외에서 살펴본 근의 공식의 부호 선택
삼각동과외 수업에서 학생이 적어 온 풀이를 먼저 확인했습니다. 고려중학교가 포함된 생활권이나 용두주공아파트1차가 있는 생활권에서 중3수학을 공부할 때도, 근의 공식은 식을 빠르게 대입하는 것보다 원문 조건과 ± 부호를 끝까지 확인하는 과정이 중요합니다. 이번 시간의 범위는 근의 공식에 있는 ±로 두 해를 구하고, 조건에 따라 해를 판단하는 것으로 한정했습니다.
답보다 먼저 보인 한 줄
문제는 다음과 같았습니다.
방정식 x²-5x+6=0의 두 해를 구하여라.
학생은 먼저 a=1, b=-5, c=6이라고 표시한 뒤 근의 공식에 대입했습니다.
x={-(-5)±√((-5)²-4×1×6)}/{2×1}
여기까지는 정확했습니다. 이어서 √1=1을 계산하고,
x=(5+1)/2=3
이라고 적은 뒤 “해는 3”이라고 결론 내렸습니다. 계산 자체가 틀린 것이 아니라, 공식에 남아 있던 ±를 한 번만 사용한 것이 풀이가 어긋난 최초 지점이었습니다. 이 식에서는 더하기와 빼기를 각각 적용해야 하므로, 부호 하나를 임의로 없애면 안 됩니다.
부호 하나만 되살린 재계산
교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 것이 아니라, 처음부터 남아 있던 ±를 두 갈래로 나누는 행동 하나였습니다.
- 더하기를 선택하면 x=(5+1)/2=3
- 빼기를 선택하면 x=(5-1)/2=2
따라서 두 해는 x=3, x=2입니다. 이미 올바르게 적은 계수와 제곱근 계산은 그대로 두고, 빠뜨린 두 번째 부호만 복원했습니다. 근의 공식에서 ±는 장식처럼 적는 기호가 아니라, 같은 계산에서 서로 다른 두 결과를 만들 수 있다는 표시입니다.
다음 문제에서는 조건의 위치가 달라졌습니다.
방정식 2x²-7x+3=0의 해 중 1보다 큰 것을 구하여라.
학생은 a=2, b=-7, c=3을 표시하고
x={7±√(49-24)}/4={7±5}/4
까지 계산했습니다. 이번에는 질문이 “두 해를 모두 쓰기”가 아니라 “1보다 큰 해”를 고르는 것이므로 두 값을 먼저 확인해야 합니다. x=(7+5)/4=3, x=(7-5)/4=1/2입니다. 조건 1보다 큰 값을 만족하는 것은 3 하나입니다. ±를 먼저 모두 계산한 뒤 문장 조건을 적용해야 하며, 처음부터 마이너스 결과를 버리거나 플러스 결과만 남기는 방식은 안전하지 않습니다.
모양이 달라진 문제에서 같은 기준 적용하기
며칠 뒤 삼각동중3수학과외에서 식의 모양과 질문 방향을 바꾼 문제를 제시했습니다.
어떤 수 t가 t²+4t-5=0의 해일 때, t≤0인 값을 모두 쓰고 두 해의 합을 구하여라.
이번에는 b가 양수이므로 학생은 먼저 a=1, b=4, c=-5라고 기록했습니다.
t={-4±√(4²-4×1×(-5))}/2
={-4±√36}/2
={-4±6}/2
두 갈래를 계산하면 t=1 또는 t=-5입니다. 조건 t≤0에 맞는 값은 -5 하나이지만, 뒤의 질문은 “두 해의 합”이므로 조건에 맞는 해만 골라 합을 구하는 것이 아닙니다. 두 해 전체를 사용하여 1+(-5)=-4라고 판단해야 합니다. 같은 ± 부호라도 조건이 해를 고르는지, 전체 해를 묻는지에 따라 마지막 선택이 달라집니다.
힌트 없이 확인한 마지막 풀이
마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.
방정식 3y²+y-2=0의 해 중 -1보다 큰 해를 모두 구하여라.
학생은 먼저 “해를 하나로 단정하지 않고 ±를 두 번 계산한다”고 적었습니다.
y={-1±√(1²-4×3×(-2))}/6
={-1±√25}/6
={-1±5}/6
따라서 y=4/6=2/3 또는 y=-6/6=-1입니다. 조건 -1보다 큰 해는 2/3이고, y=-1은 ‘큰’이 아니라 같은 값이므로 제외했습니다. 이어 원래 방정식에 대입해
- y=2/3: 3×(2/3)²+2/3-2=4/3+2/3-2=0
- y=-1: 3×(-1)²-1-2=0
이라고 확인했습니다. 두 해를 모두 계산한 뒤 원문 조건을 적용하고, 선택 전의 두 값은 원래 방정식에 대입한다는 기준을 스스로 재현한 장면입니다.