삼각동 고2수학과외
누적함수의 극값을 오답에서 역추적하기
최종 검증에서 학생은 누적함수 \(F(x)\)의 극값 후보를 \(F(x)=0\)인 지점으로 골랐다. 그러나 누적함수의 증가와 감소는 함수값이 아니라 도함수의 부호로 결정된다.
문제와 최종 판단
함수 \(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)가 있고, \(f\)의 부호가 다음과 같다고 하자.
| 구간 | (0, 2) | (2, 5) | (5, 7) |
|---|---|---|---|
| f(x)의 부호 | + | - | + |
이때 \(F\)의 증가·감소 구간과 극값 후보를 찾는다.
정답은 \(F\)가 \((0,2)\)와 \((5,7)\)에서 증가하고, \((2,5)\)에서 감소한다는 것이다. 따라서 \(x=2\)에서는 증가에서 감소로 바뀌므로 극대 후보, \(x=5\)에서는 감소에서 증가로 바뀌므로 극소 후보가 된다.
최초 오류는 함수값의 부호를 사용한 것
학생의 기록에는 다음과 같은 판단이 있었다.
“\(F(x)\)가 양수이면 증가하고, 음수이면 감소한다.”
이 판단은 \(F(x)\)의 현재 높이와 변화 방향을 혼동한 것이다. 그래프가 \(x\)축 위에 있어도 내려갈 수 있고, \(x\)축 아래에 있어도 올라갈 수 있다.
미분으로 교정하기
미적분학의 기본정리에 따라
\[ F'(x)=\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)\,dt=f(x) \]
이다. 따라서 \(F'(x)>0\)인 곳에서는 \(F\)가 증가하고, \(F'(x)<0\)인 곳에서는 감소한다. 결국 \(F\)의 변화는 \(F(x)\)가 아니라 피적분함수 \(f(x)\)의 부호를 확인해야 한다.
삼각동과외에서 이 유형을 점검할 때도 먼저 \(F'(x)=f(x)\)를 적은 뒤, \(f\)의 부호표를 \(F\)의 증가·감소표로 옮기면 오류를 줄일 수 있다.
새 문제에 적용한 검산
이번에는 \(f\)의 그래프가 \(x\)-축 위에 있는 구간에서는 \(F\)가 상승하고, 아래에 있는 구간에서는 하강한다고 해석한다. \(f\)가 \(x=2\)에서 양수에서 음수로 바뀌면 \(F\)는 증가에서 감소로 바뀌므로 극대가 된다. 반대로 \(x=5\)에서 음수에서 양수로 바뀌면 극소가 된다.
단, \(f(x)=0\)이라는 사실만으로 극값을 단정할 수는 없다. 양쪽에서 부호가 실제로 바뀌는지까지 확인해야 한다.