두암동 고2수학과외







교점 세 개를 한 번에 적분하면 왜 넓이가 사라질까
두 곡선 사이의 넓이를 구하는 문제에서 학생은 교점 세 개를 x축 위에 표시한 뒤, 첫 교점과 마지막 교점만 사용해 하나의 정적분으로 정리했다. 그러나 이 방법은 구간마다 위쪽 함수가 바뀌는 상황을 놓칠 수 있다.
문제와 학생의 풀이 기록
곡선 \(y=x^3-3x\), \(y=x\)로 둘러싸인 전체 넓이를 구하자.
두 식을 같게 놓으면
\[ x^3-3x=x \quad\Rightarrow\quad x^3-4x=0 \] \[ x(x-2)(x+2)=0 \]
따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(-2,0,2\)이다. 학생은 첫 교점과 마지막 교점 사이에서 \(y=x\)가 위에 있다고 판단해 다음과 같이 계산했다.
\[ \int_{-2}^{2}\{x-(x^3-3x)\}\,dx =\int_{-2}^{2}(4x-x^3)\,dx=0 \]
하지만 넓이가 0이라는 결과는 두 곡선 사이에 실제 영역이 존재한다는 사실과 맞지 않는다.
구간마다 위쪽 함수를 다시 확인하기
두 함수의 차를 조사하면
\[ (x^3-3x)-x=x^3-4x=x(x-2)(x+2) \]
이다. 부호를 확인하면 \([-2,0]\)에서는 \(x^3-3x\)가 위에 있고, \([0,2]\)에서는 \(y=x\)가 위에 있다. 교점 \(x=0\)을 기준으로 위아래가 바뀌므로 적분을 반드시 나누어야 한다.
정확한 넓이 계산
\[ A=\int_{-2}^{0}\bigl[(x^3-3x)-x\bigr]\,dx +\int_{0}^{2}\bigl[x-(x^3-3x)\bigr]\,dx \]
두 구간의 도형은 좌우 대칭이므로
\[ A=2\int_{0}^{2}(4x-x^3)\,dx =2\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{2} =2(8-4)=8 \]
따라서 두 곡선 사이의 전체 넓이는 \(8\)이다.
경계값을 이용한 최종 검증
\(x=-2,0,2\)를 원래 함수에 대입하면 두 곡선의 \(y\)값이 각각 일치한다. 또한 \([-2,0]\)과 \([0,2]\)에서 높이는 각각 양수이므로 계산된 넓이도 양수여야 한다. 이 검증을 통과하지 못한 \(0\)은 부호가 서로 상쇄된 결과일 뿐 넓이가 아니다.
이처럼 광주 지역에서 두암동과외로 고3수학을 학습할 때도 교점의 개수만 세는 데 그치지 말고, 인접한 교점 사이에서 위쪽 함수를 다시 판정해야 한다. 이 원칙이 두 곡선 사이 넓이 문제의 핵심이다.