각화동 중2수학과외

각화동 중2수학과외에서 시작한 연립일차방정식 풀이 기록

각화중학교가 포함된 생활권에서 연립일차방정식을 다루던 수업이었다. 각화동과외를 진행하며 학생이 자주 멈춘 지점은 계산 속도가 아니라, 문제 속 두 양을 어떤 문자로 정할지 결정하는 첫 단계였다.

첫 줄에서 어긋난 풀이

문제는 다음과 같았다. “어떤 공연의 성인 입장권은 8,000원, 학생 입장권은 5,000원이다. 모두 23장을 팔아 145,000원을 모았다. 성인표와 학생표는 각각 몇 장인가?”

학생은 곧바로 공책 위쪽에 x=성인표, y=학생표라고 적었다. 이어서 장수에 대한 식은 x+y=23, 금액에 대한 식은 8000x+5000y=145000이라고 세웠다. 여기까지는 문제의 두 양과 식이 잘 대응했다.

가감법으로 풀기 위해 두 번째 식을 1,000으로 나누어 8x+5y=145로 바꾼 뒤, 첫 식의 x 계수를 8로 맞추려고 했다. 그런데 첫 식만 8x+y=184로 바꾸고, 원래 있던 y의 계수와 우변을 함께 바꾸지 않았다. 학생은 두 식을 빼서 4y=-39를 얻은 뒤 계산 결과가 이상하다고 말했다.

“계수를 맞추려면 x만 바꾸면 된다고 생각했어요. 식 전체를 바꿔야 한다는 건 뒤늦게 알았어요.”

결과가 음수가 된 것이 최초의 오류는 아니었다. 그보다 앞서 한 식의 항 하나만 바꾸어도 같은 식이라고 판단한 것이 풀이를 틀어지게 한 첫 선택이었다.

계수를 맞출 때 지킨 한 가지 기준

교정에서는 이미 정한 x와 y의 뜻, 두 식을 세운 과정, 가감법을 그대로 유지했다. 바꾼 것은 한 가지뿐이었다. 식을 변형할 때는 좌변의 모든 항과 우변을 같은 수로 바꾼다는 기준을 공책 여백에 적었다.

학생은 먼저 장수 식 x+y=23의 모든 부분에 5를 곱해 5x+5y=115를 만들었다. 금액 식은 1,000으로 나눈 8x+5y=145를 사용했다. 이제 y의 계수가 같으므로 두 식을 뺄 수 있었다.

(8x+5y)-(5x+5y)=145-115이므로 3x=30, 따라서 x=10이다. 장수 식에 대입하면 10+y=23에서 y=13을 얻는다. 학생은 답만 적지 않고 원래 두 식에 각각 대입했다. 10+13=23, 8000×10+5000×13=145000이므로 두 조건을 모두 만족한다고 표시했다.

식이 아닌 표에서 출발한 변형 문제

같은 개념을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. 이번에는 표에 두 종류의 묶음이 제시되었다.

• 1번 묶음: 사과 2개와 배 3개, 모두 19개
• 2번 묶음: 사과 5개와 배 3개, 모두 34개

질문은 “사과 한 개와 배 한 개의 수를 각각 구하라”가 아니라, 두 묶음의 개수를 비교했을 때 사과가 몇 개 더 필요한가였다. 학생은 표의 가로 항목을 그대로 미지수로 삼지 않고, x=사과 한 개의 수, y=배 한 개의 수라고 다시 정했다. 이어 2x+3y=19, 5x+3y=34를 적었다.

이번에는 질문 방향이 달랐지만 y의 계수가 이미 같다는 점을 먼저 표시했다. 두 식을 아래위로 맞춘 뒤 두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼 3x=15, x=5를 구했다. 첫 식에 넣어 10+3y=19, y=3을 계산하고, 묻는 값이 두 수의 합이 아니라 차이임을 다시 읽어 5-3=2라고 답했다. 식을 세우는 일과 질문에 답하는 일을 분리해 확인한 장면이었다.

힌트 없이 다시 선택한 첫 판단

수업 후반에는 다음 문제가 주어졌다. “노트 4권과 펜 2자루의 가격은 18,000원이고, 노트 2권과 펜 5자루의 가격은 19,000원이다. 노트 한 권과 펜 한 자루의 가격을 구하라.” 이번에는 풀이 순서나 문자 지정에 대한 안내를 하지 않았다.

학생은 문제를 읽자마자 x=노트 한 권의 가격, y=펜 한 자루의 가격이라고 적었다. 이어 4x+2y=18000, 2x+5y=19000을 세우고, 첫 식을 2로 나누어 2x+y=9000으로 정리했다. “y의 계수를 없애려면 두 식의 y 계수를 맞추거나, 첫 식에서 y를 먼저 나타낼 수 있다”고 스스로 말한 뒤 대입법을 선택했다.

y=9000-2x를 두 번째 식에 넣어 2x+5(9000-2x)=19000을 만들고, x=3250, y=2500을 얻었다. 마지막으로 원래 식에 대입해 4×3250+2×2500=18000, 2×3250+5×2500=19000을 각각 계산했다.

학생은 “문자 뜻을 먼저 정해야 각 식의 항을 빠뜨리지 않고, 식을 바꿀 때도 전체를 같은 방식으로 다뤄야 한다”고 풀이 이유를 설명했다. 도움 없이 첫 판단을 세우고, 두 원래 식의 검산으로 동치 관계까지 확인한 점에서 같은 오류를 스스로 막아냈다. 이는 각화동중2수학과외 수업에서 확인한 연립일차방정식의 독립 재현 장면이었다.