각화동 수학과외
각화동수학과외에서는 등비수열의 공비를 단순히 공식에 대입하는 항목으로 다루지 않고, 어떤 조건에서 공비라는 개념이 성립하는지부터 확인합니다. 같은 수열처럼 보여도 항 사이의 관계가 일정한지, 첫 항이 0인지, 나누어 구한 값이 모든 항에 적용되는지를 구분해야 첫 식을 올바르게 세울 수 있습니다.
공비를 구하기 전 확인할 관계
등비수열은 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열입니다. 첫째 항을 a, 공비를 r이라 하면 다음 항은 ar, 그다음 항은 ar²로 이어집니다. 따라서 공비는 뒤의 항을 앞의 항으로 나누어 구하되, 한 번 계산한 값이 다른 연속한 항 사이에서도 반복되는지 확인해야 합니다.
예를 들어 3, 6, 12, 24에서는 6÷3, 12÷6, 24÷12가 모두 2이므로 공비는 2입니다. 반면 2, 4, 8, 15처럼 앞부분의 비가 일정해 보이더라도 15÷8이 2가 아니면 전체 수열을 등비수열로 볼 수 없습니다. 음의 공비도 가능합니다. 5, -10, 20, -40은 항의 부호가 번갈아 바뀌지만 각 항을 앞 항으로 나눈 값이 -2로 같으므로 등비수열입니다.
비슷한 개념을 가르는 짧은 기준
학생은 등차수열의 공차와 등비수열의 공비를 모두 ‘항 사이의 일정한 수’로 기억해 서로 바꾸어 적용하는 경우가 있습니다. 공차는 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값이고, 공비는 뒤 항을 앞 항으로 나눈 값입니다. 이 두 문장을 구분해 두면 4, 7, 10, 13에서는 차가 3이므로 등차수열이고, 4, 12, 36, 108에서는 비가 3이므로 등비수열이라는 판단이 분명해집니다.
또한 공비를 구할 때는 나눗셈이 가능한지 살핍니다. 앞 항이 0이면 그 항을 기준으로 비를 바로 계산할 수 없습니다. 예를 들어 0, 0, 0은 모든 항이 0이어서 여러 값의 곱으로 표현될 수 있으므로 일반적인 방식으로 공비를 하나로 정하기 어렵습니다. 0이 아닌 항부터 관계를 확인하거나, 문제에서 제시한 조건을 함께 읽어야 합니다.
첫 식이 틀어지는 지점
공비 문제에서 자주 나타나는 오류는 수열의 일부 숫자만 보고 공비를 확정하는 것입니다. 2, 6, 18, 54에서 6과 18만 보고 공비를 3이라고 적는 것은 결과 자체는 맞지만, 문제에서 일반항이나 특정 항을 요구한다면 첫째 항과 항 번호를 함께 정리해야 합니다. 반대로 2, -6, 18, -54에서 부호를 무시하고 공비를 3으로 쓰면 이후 일반항의 부호가 모두 어긋납니다.
또 다른 장면은 ‘세 번째 항이 20이고 네 번째 항이 40’이라는 조건을 보고 공비를 2로 정한 뒤, 첫째 항을 20으로 착각하는 경우입니다. 공비는 항의 위치가 아니라 인접한 항의 비로 정하고, 일반항을 세울 때는 주어진 항의 번호를 지수와 연결해야 합니다. 예를 들어 세 번째 항이 ar²임을 놓치면 공비를 구한 뒤에도 첫째 항을 잘못 계산하게 됩니다.
반례를 이용한 교정 과정
교정할 때는 공통점과 차이점을 각각 짧은 문장으로 말하게 합니다. “등차수열과 등비수열은 항 사이의 관계가 일정하다.” “등차수열은 차를, 등비수열은 비를 비교한다.”처럼 정리한 뒤, 숫자만 바꾼 수열을 보고 어느 문장이 적용되는지 선택합니다.
그다음 1, 3, 9, 27과 1, 3, 5, 7을 나란히 놓고 차와 비를 각각 계산합니다. 첫 번째 수열은 차가 일정하지 않지만 비가 3으로 일정하고, 두 번째 수열은 차가 2로 일정하지만 비는 달라집니다. 마지막에는 음의 공비나 0이 포함된 수열을 넣어 ‘항상 양수인 비만 공비’라는 잘못된 기준도 수정합니다. 풀이 옆에는 공비를 선택한 이유와 적용되지 않는 조건을 한 문장씩 남깁니다.
조건을 바꾼 독립 검증
처음 풀었던 수열을 그대로 반복하지 않고, 경계값을 포함한 새 문항으로 판단을 확인합니다. 예를 들어 첫째 항이 음수이고 공비가 -1인 수열, 공비가 1인 수열, 일부 항이 0인 수열을 각각 제시할 수 있습니다. 공비가 -1이면 부호가 번갈아도 비는 일정하고, 공비가 1이면 모든 항이 같아집니다. 반면 중간에 0이 한 번만 등장한 뒤 0이 아닌 항이 이어진다면 모든 인접한 비를 같은 값으로 설명할 수 있는지 먼저 검토해야 합니다.
새 문제에서 학생이 숫자 두 개만 나누지 않고 전체 조건을 확인하는지, 공차와 공비를 구별해 선택하는지, 주어진 항의 위치를 일반항에 정확히 반영하는지를 봅니다. 마지막에는 계산한 공비를 다시 곱해 다음 항을 재현하거나, 뒤 항을 앞 항으로 나누어 같은 값이 나오는지 검산하게 합니다. 광주과학고등학교나 서강고등학교처럼 지역에서 접할 수 있는 학교명은 교육환경을 가리키는 참고 정보일 뿐, 특정 학교의 문제 유형을 전제로 삼지는 않습니다. 각화금호타운, 다솜울작은도서관, 첨단지구 역시 생활권을 설명하는 명칭으로만 다룹니다.
등비수열 공비 학습 질문
공비가 음수이면 등비수열이 아닌가요?
아닙니다. 인접한 항의 비가 같은 값이면 음수인 경우에도 등비수열입니다. 음의 공비에서는 항의 부호가 번갈아 바뀔 수 있으므로 부호를 포함해 나누어야 합니다.
공비를 한 번만 계산해도 되나요?
문제에서 등비수열이라고 명시했다면 한 번 계산할 수 있지만, 직접 등비수열인지 판단하는 문제라면 다른 인접한 항의 비도 확인해야 합니다.
공비와 공차를 빠르게 구별하는 방법은 무엇인가요?
항 사이의 차를 먼저 보되, 차가 일정하지 않으면 뒤 항을 앞 항으로 나누어 봅니다. 뺄셈이 일정한지 나눗셈이 일정한지를 구분하는 방식입니다.
0이 포함된 수열은 어떻게 확인하나요?
0으로 나누는 계산은 할 수 없으므로 해당 항을 기준으로 공비를 바로 정하지 않습니다. 앞뒤 항의 관계와 문제의 추가 조건을 함께 검토해야 합니다.
공비를 구한 뒤 무엇을 검산하나요?
구한 공비를 앞 항에 곱해 다음 항이 나오는지 확인하고, 다른 연속한 항에도 같은 비가 적용되는지 살핍니다. 항의 부호와 위치도 함께 점검합니다.