각화동 고등수학과외

각화동 고등수학과외에서는 지수방정식을 계산 속도만으로 풀지 않고, 주어진 식이 실제로 같은 밑의 거듭제곱으로 바뀌는지 확인하는 과정을 함께 다룬다. 광주과학고등학교와 광주제일고등학교를 준비하는 학생들도 문제를 보자마자 지수를 비교하기보다, 밑과 진수를 어떻게 다시 표현할지 먼저 기록하는 연습이 필요하다. 각화금호타운이나 더샵광주포레스트작은도서관 인근에서 공부하는 학생의 풀이에서도 이 차이가 자주 드러난다.

16의 거듭제곱을 바로 읽지 않는 이유

수업에서 한 학생에게 16^x=256을 풀게 했다. 학생은 16과 256을 보고 “둘 다 2의 거듭제곱이니까 지수는 2와 8을 비교하면 된다”고 적으려 했다. 하지만 왼쪽의 지수는 x이고, 오른쪽의 8은 2를 밑으로 바꾸었을 때 생기는 지수다. 이 둘을 비교하려면 양변을 실제로 같은 밑으로 다시 써야 한다.

먼저 예상 범위를 짧게 적었다. 16¹=16, 16²=256이므로 x는 1과 2 사이가 아니라 정확히 2일 가능성이 높다고 판단했다. 그다음 16=2⁴, 256=2⁸로 바꾸면

(2⁴)^x=2⁸, 즉 2^4x=2⁸

이제 밑이 2로 같고 밑이 1이 아니므로 지수를 비교할 수 있다. 따라서 4x=8, x=2가 된다.

첫 줄에서 생긴 오류를 되짚기

학생의 첫 오류는 답을 틀린 데 있지 않았다. 같은 밑으로 바꾸는 표본을 다시 쓰지 않은 채 “지수끼리 비교”라는 결론으로 건너뛴 데 있었다. 16의 지수 x와 256을 2의 8제곱으로 나타낸 지수는 처음부터 같은 밑에서 비교되는 양이 아니다. 이 차이를 표시하기 위해 풀이를 두 줄로 나누었다.

16=2⁴, 256=2⁸을 먼저 확인한다.
(2⁴)^x=2⁸으로 바꾼 뒤에만 4x=8을 쓴다.

이후에는 비슷한 식을 무작정 여러 개 풀지 않고, 밑을 바꿀 수 있는지와 바꾼 뒤 지수가 무엇이 되는지를 대조했다. 예를 들어 8^x=64에서는 8=2³, 64=2⁶이므로 3x=6이다. 반면 6^x=36은 6²=36이므로 한쪽을 억지로 2의 거듭제곱으로 바꾸지 않아도 6을 같은 밑으로 사용할 수 있다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 적용하기

다음에는 숫자를 바꾸어 25^x=125를 제시했다. 학생은 25=5², 125=5³을 적고 5^2x=5³에서 x=3/2를 얻었다. 처음 문제의 답 2를 기억해 옮기지 않고, 새로운 밑과 지수를 다시 구성한 점이 달라졌다.

이번에는 16^x=32로 조건을 바꾸었다. 16=2⁴, 32=2⁵이므로 4x=5, x=5/4이다. 예상 범위에서도 16¹=16과 16²=256 사이에 32가 있으므로 1과 2 사이의 값이라는 점을 확인할 수 있다.

로그 표현과 조건은 따로 확인한다

지수식을 로그로 바꾸는 연습에서는 계산 결과와 조건을 섞지 않도록 했다. log₁₄(196)=2인 까닭은 14²=196이기 때문이다. 그러나 어떤 문제에서 해에 x>2라는 조건이 붙었다면, 로그 계산으로 얻은 값이 2인 사실과 조건을 만족하는지는 별도로 판단해야 한다. x=2는 x>2를 만족하지 않으므로 그 조건 아래에서는 해가 없다.

마지막으로 처음 식에 x=2를 다시 대입했다. 16²=256이므로 원식이 맞는다. 또 16^x은 밑이 16>1일 때 증가하므로 256을 만드는 x가 둘 이상일 수 없다는 점도 확인했다. 같은 밑으로 바꾼 풀이, 예상 범위, 원식 재대입이 서로 같은 결론을 가리킬 때 풀이를 마무리했다.

자주 묻는 질문

지수방정식에서 언제 지수를 비교하나요?
양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 정확히 바꾼 뒤, 그 밑이 1이 아닌 경우에 비교한다.
16과 256을 보고 바로 4와 8을 비교해도 되나요?
안 된다. 16은 2⁴이고 256은 2⁸이라는 변환을 먼저 써야 한다.
밑을 꼭 2로 통일해야 하나요?
아니다. 양변을 같은 밑으로 표현할 수 있다면 5나 6처럼 다른 밑을 사용해도 된다.
로그 계산 뒤 조건을 다시 보는 이유는 무엇인가요?
로그가 알려 주는 값과 문제에서 요구한 범위가 다를 수 있으므로, 해의 조건을 별도로 대조해야 한다.
답을 구한 뒤 가장 간단한 검산은 무엇인가요?
구한 값을 원래 지수식에 넣어 양변이 실제로 같은지 확인하는 방법이다.