진월지구 중2수학과외

진월지구 중2수학과외에서 살펴본 대입법의 첫 선택

문제의 두 조건을 식으로 옮긴 뒤 대입법을 사용해야 했지만, 어느 식을 먼저 정리할지 표시하지 않은 채 계산부터 시작한 것이었다.

계산 전에 이미 방향이 달라진 한 줄

문제에는 두 종류의 입장권을 합쳐 18장을 샀고, 금액의 합이 42,000원이라는 조건이 제시되어 있었다. 학생은 일반 입장권을 x장, 특별 입장권을 y장으로 정하고 다음처럼 적었다.

x+y=18
2000x+3000y=42000

그 뒤 두 식 중 첫 번째 식에서 x를 정리하면 바로 대입할 수 있는데도, 학생은 두 번째 식에서 x를 먼저 고르며 2000으로 나누는 계산을 시작했다. 계수를 나누는 과정에서 식이 길어졌고, 정리한 식을 다시 대입했을 때 x와 y가 함께 남았다. 결과가 이상해진 순간이 오류의 시작처럼 보였지만, 실제 최초의 어긋남은 대입한 뒤 남겨야 할 미지수가 무엇인지 정하지 않고 식을 선택한 판단이었다.

학생이 적은 풀이를 거꾸로 따라가 보니 두 식을 모두 계산한 뒤에야 대입할 식을 찾으려 했다. 그러나 대입법에서는 계산을 많이 하는 것보다 한 미지수가 곧바로 정리되는 식을 먼저 고르는 것이 핵심이다.

대입할 식과 남길 식을 먼저 표시하기

이미 세운 두 식은 그대로 두고, 한 가지 행동만 바꾸었다. 학생은 첫 식의 x에 동그라미를 치고, 두 번째 식 옆에는 ‘남길 식’이라고 적었다.

x+y=18 → x=18-y
2000x+3000y=42000

이제 첫 식에서 얻은 x=18-y를 두 번째 식의 x 자리에 그대로 넣었다.

2000(18-y)+3000y=42000
36000-2000y+3000y=42000
1000y=6000
y=6

학생은 계산을 이어가기 전에 첫 식으로 돌아가 x=18-6=12를 구했다. 이어서 두 원래 식에 각각 넣었다. 12+6=18이고, 2000×12+3000×6=42000이므로 두 조건이 모두 맞았다. 앞서 맞게 세운 미지수와 두 식은 유지하고, 대입 전에 한 미지수를 정리할 식만 골라 준 셈이다.

식 모양이 달라져도 먼저 보는 기준

다음 문제에서는 계수가 정수가 아니었다. 한 상품의 수량을 x, 다른 상품의 수량을 y라 할 때 두 조건이 다음처럼 주어졌다.

0.5x+ y=7
1.5x+2y=16

학생은 예전처럼 두 번째 식을 무작정 나누지 않았다. 첫 번째 식에서 y가 이미 계수 1로 놓여 있다는 점에 밑줄을 긋고, ‘y를 정리해서 두 번째 식에 대입’이라고 적었다.

y=7-0.5x
1.5x+2(7-0.5x)=16
1.5x+14-x=16
0.5x=2
x=4, y=5

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니었다. 정수 계수 대신 소수 계수가 쓰였고, 질문도 두 상품의 수량을 바로 묻는 대신 “두 번째 상품의 수량을 먼저 나타내어 계산하라”는 형태였다. 학생은 식의 겉모양보다 한 미지수를 간단히 정리할 수 있는지를 먼저 확인했다.

힌트 없이 선택한 최종 검증

수업 끝에 별도의 표시나 질문 없이 새로운 상황을 제시했다. 어떤 묶음은 사과 2개와 배 1개의 가격이 7,000원이고, 다른 묶음은 사과 1개와 배 3개의 가격이 9,000원이었다. 학생은 사과 가격을 x, 배 가격을 y로 두고 다음 두 식을 직접 세웠다.

2x+y=7000
x+3y=9000

학생은 첫 식의 y 계수가 1이므로 y=7000-2x로 바꾸는 편이 계산에 적합하다고 설명했다. 이어 두 번째 식에 대입해 x=2400, y=2200을 얻었다. 마지막에는 “첫 식은 사과 두 개와 배 한 개라는 조건, 둘째 식은 사과 한 개와 배 세 개라는 조건을 각각 반영했다”고 말한 뒤, 2×2400+2200=7000, 2400+3×2200=9000을 직접 확인했다.

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