진월지구 중3수학과외

조건을 확인한 뒤 남겨야 하는 해

진월지구과외 수업에서 학생은 신우아파트와 이야기꽃도서관이 있는 생활권의 중3 문제를 풀었다. 문제는 다음과 같았다.

어떤 수 \(x\)는 \(x^2-7x+12=0\)을 만족하고, \(x\)는 두 지점 사이의 거리이므로 \(x>3\)이다. 조건에 맞는 \(x\)를 구하여라.

진월지구중3수학과외에서는 계산 결과만 보지 않고, 방정식의 해 중 원문 조건에 맞는 값만 남기는 과정을 기록하게 했다. 효천중학교가 포함된 생활권에서 문제를 접하더라도, 핵심은 학교가 아니라 식과 조건을 정확히 함께 읽는 데 있다.

학생이 공책에 남긴 첫 판단

학생은 식을 보고 바로

\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0\)

이라고 쓴 뒤,

\(x=3\) 또는 \(x=4\), 따라서 답은 3, 4

라고 정리했다. 인수분해와 두 해를 구한 계산 자체는 맞았다. 그러나 문제의 문장에서 먼저 확인해야 할 대상은 ‘방정식의 해’만이 아니라 ‘거리이므로 \(x>3\)’이라는 조건이었다.

가장 먼저 어긋난 판단은 마지막 결론을 쓰기 전에 조건을 대조하지 않은 것이었다. \(x=3\)은 방정식에는 들어맞지만 \(x>3\)을 만족하지 않는다. 즉, 계산을 틀린 것이 아니라 계산된 두 값을 모두 답으로 인정한 순간에 오류가 시작되었다.

계산을 되돌리지 않고 바꾼 한 줄

학생에게 이미 맞은 인수분해를 지우게 하지 않고, 해를 적은 바로 아래에 조건을 따로 옮겨 쓰게 했다.

방정식의 해: 3, 4
문제의 조건: \(x>3\)

이제 각각을 비교하면 \(3>3\)은 거짓이고 \(4>3\)은 참이다. 따라서 \(x=3\)은 제외하고 \(x=4\)만 남긴다.

이 교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 방법이 아니다. 학생이 이미 정확하게 계산한 두 해는 그대로 두고, 결론을 쓰기 직전에 원문 조건을 적용하는 행동 하나만 추가한 것이다.

\(x=3\): 거리 조건 \(x>3\)에 맞지 않으므로 제외
\(x=4\): 거리 조건 \(x>3\)에 맞으므로 채택
따라서 조건에 맞는 해는 \(x=4\)이다.

표현을 바꿔 다시 선택한 값

다음 시간에는 같은 숫자를 반복하지 않고 문제의 모양을 바꾸었다.

수직선 위의 점 \(P\)의 좌표를 \(t\)라 할 때, \(t^2-2t-8=0\)이다. 점 \(P\)가 오른쪽 구간 \(t\leq -2\)가 아니라 \(t\geq 4\)인 위치에 있을 때 가능한 좌표를 구하여라.

학생은 먼저 조건을 표시했다. 가능한 값은 \(t\geq4\)라고 적은 다음,

\(t^2-2t-8=(t-4)(t+2)=0\)

에서 \(t=4\) 또는 \(t=-2\)를 얻었다. 이번에는 답을 바로 묶지 않고 조건표를 만들었다.

• \(t=4\): \(4\geq4\)이므로 남김
• \(t=-2\): \(-2\geq4\)가 아니므로 제외

앞 문제는 ‘두 값보다 큰 해’를 고르는 질문이었고, 이번에는 위치 조건이 문장 뒤에 놓였다. 식의 숫자만 바꾼 연습이 아니라, 조건이 좌표의 범위를 정하고 질문이 그 범위 안의 해를 요구한다는 기준을 다시 선택한 장면이었다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

며칠 뒤 학생은 도움 없이 다음 문제를 받았다.

상자에 들어갈 물건의 길이를 \(y\)라 하자. \(y^2-9y+20=0\)이고, 길이는 \(5\)cm보다 작아야 한다. 조건에 맞는 \(y\)를 구하여라.

학생은 식을 계산하기 전에 공책 위쪽에 조건 \(y<5\)를 먼저 적었다. 이어서

\((y-4)(y-5)=0\), 따라서 \(y=4\) 또는 \(y=5\)

라고 구한 뒤, \(4<5\)는 참이고 \(5<5\)는 거짓이라고 설명했다. 최종 답은 \(y=4\)cm이다.

마지막으로 원래 방정식에 대입해 \(4^2-9\cdot4+20=16-36+20=0\)임을 확인하고, 길이 조건 \(4<5\)도 다시 확인했다. 방정식에 맞는지와 문제의 조건에 맞는지를 각각 검산했으므로, 이번에는 해를 구한 뒤 부적절한 값을 스스로 걸러냈다.