월산동 고1수학과외
월산동고1수학과외, 매개변수 부등식에서 부호를 놓친 사례
문자를 다른 값으로 바꾼 뒤 계산을 빠르게 이어 가던 학생이 부등식의 부호가 달라지는 지점을 확인하지 않고 다음 줄로 넘어갔다. 결과는 그럴듯했지만, 두 조건을 동시에 만족하는 범위가 실제 수직선에 표시한 구간과 맞지 않았다.
두 부등식의 공통 범위를 찾는 순간
문제는 매개변수의 값에 따라 두 부등식을 동시에 만족하는 해의 범위를 정하는 유형이었다. 학생은 각 부등식을 따로 정리한 뒤 답을 합치려 했지만, 문자를 포함한 식을 나누는 과정에서 그 문자의 부호를 확인하지 않았다. 음수로 나누는 경우 부등호 방향이 바뀐다는 조건이 빠진 것이 최초 오류였다.
계산을 시작하기 전에 매개변수의 부호에 따라 부등호 방향이 달라지는지 수직선에 표시한다.
수업에서는 복잡한 계산을 더하기보다, 경계값을 기준으로 수직선에 각 조건의 해를 나누어 적게 했다. 매개변수가 양수인지 음수인지에 따라 부등식의 방향과 포함 여부가 어떻게 달라지는지만 먼저 구분하자 계산 과정에서 부호를 놓치는 일이 줄었다.
조건의 위치를 바꾼 문제에 적용하기
이후에는 같은 숫자를 반복하지 않고, 매개변수가 분모에 놓인 부등식과 상수항 쪽에 놓인 부등식을 제시했다. 학생은 먼저 매개변수의 부호를 확인한 다음 각각의 해를 구하고, 마지막에 두 수직선에서 겹치는 구간만 골랐다. 한 조건을 만족한다고 전체 해가 되는 것이 아니라 두 조건의 공통 부분이어야 한다는 점도 함께 확인했다.
- 매개변수를 나누기 전에 양수·음수 여부를 확인한다.
- 각 부등식의 해를 수직선에 따로 표시한다.
- 두 표시가 겹치는 범위만 최종 해로 정한다.
처음 보는 표현에서 결과를 되짚다
마지막에는 식을 바로 다시 풀지 않고, 선택한 해의 대표값을 원래 두 부등식에 각각 대입하게 했다. 한 조건에는 들어가지만 다른 조건에는 들어가지 않는 값이 발견되면서, 공통 범위를 잘못 합친 경우를 구별할 수 있었다. 새로운 식에서도 계산 결과만 믿지 않고 원식의 두 조건을 모두 만족하는지 확인하는 습관으로 마무리했다.
월산동 생활권에서 고1수학과외를 진행할 때도 매개변수 부등식은 계산 속도보다 부호와 경계의 처리가 중요하다. 수직선과 원식 대입을 서로 다른 단계로 활용하면 표현이 바뀐 문제에서도 해의 범위를 안정적으로 판단할 수 있다.