봉선동 고등수학과외

봉선동 고등수학과외에서는 로그방정식을 풀 때 계산 속도보다 식 안의 진수가 무엇인지 확인하는 습관을 먼저 다룹니다. 문성고등학교와 동아여자고등학교 학생들이 학습하는 과정에서도 로그를 보자마자 조건을 적는 경우가 있는데, 진수가 상수인지 미지식을 포함하는지에 따라 확인할 내용이 달라집니다. 봉선지구 주변에서 진행한 한 풀이에서는 이 차이를 4^x=16이라는 짧은 식으로 드러냈습니다.

진수 조건을 적는 순간부터 점검하기

학생은 문제를 보자마자 “로그방정식이므로 진수 조건을 먼저 세워야 한다”고 말했습니다. 이어 4^x=16을 로그로 바꾸려 하면서 x>5를 적었습니다. 4^x=16에서 4는 밑이고 16은 이미 정해진 양의 수인데, 학생은 다른 문제에서 보았던 ‘진수에 들어간 식이 양수여야 한다’는 조건을 이 식에 그대로 옮긴 것입니다.

여기서 첫 오류는 계산 결과가 아니라 조건을 세우는 단계에서 발생했습니다. 4^x=16을 로그식으로 나타내면 log₄16=x이고, 밑 4는 0보다 크며 1이 아닙니다. 진수 16도 양수이므로 별도의 x>5 조건은 생기지 않습니다. 따라서 x=2이며, 조건 때문에 이 해를 버릴 이유도 없습니다.

상수 진수와 변수 진수 구별 훈련

오류를 고칠 때 식 전체를 여러 번 다시 계산하기보다, 로그의 세 요소를 색으로 나누어 확인했습니다. 밑은 4, 진수는 16, 로그값은 x입니다. 진수 자리에 x가 들어 있지 않으므로 ‘진수식>0’ 형태의 부등식을 만들 수 없습니다.

log_aM에서 M이 미지식을 포함할 때만 M>0 조건을 세운다. M이 16처럼 고정된 양수라면 조건 확인은 끝난다.

짧은 확인 문제로 log₈64를 제시했습니다. 학생은 처음에는 x>5를 또 적으려 했지만, 64가 고정된 진수라는 점을 표시한 뒤 log₈64=2라고 계산했습니다. 이때 진수 조건과 로그값을 혼동하지 않도록 “64는 양수인가?”와 “로그값은 얼마인가?”를 서로 다른 질문으로 말하게 했습니다.

그래프 방향이 달라진 문제에 적용하기

다음에는 수치만 바꾸지 않고 밑의 범위를 바꾸었습니다. y=log_1/2x의 그래프를 그리게 하자 학생은 밑이 0과 1 사이일 때 그래프가 감소한다는 점을 놓치고 증가하는 곡선을 그렸습니다. 교정 후에는 x>0이라는 정의역을 먼저 표시하고, 점 (1,0), (1/2,1), (2,-1)을 찍어 감소 방향을 확인했습니다.

이 장면은 진수 조건과 그래프 방향이 같은 내용이라는 뜻은 아닙니다. 다만 밑과 진수를 각각 따로 읽어야 한다는 원칙을 새로운 형태에서 혼자 적용하는 과정입니다. 그래프가 모든 양의 x에서만 그려지는지, 밑이 1보다 작은 경우 y값이 실제로 내려가는지 직접 확인하게 했습니다.

후보 해를 원식에 넣는 마지막 검산

변수 진수가 포함된 로그방정식에서는 조건을 통과한 해도 원식에 다시 대입했습니다. 예를 들어 log₂(x-1)=3에서 x-1>0을 먼저 확인하면 x>1이고, 계산상 후보 x=9가 나옵니다. 이를 원식에 넣으면 log₂8=3이 되어 성립합니다. 반대로 조건을 무시해 얻은 값이 진수를 0이나 음수로 만든다면 계산 결과처럼 보여도 해가 될 수 없습니다.

• 4^x=16에서 진수는 무엇인가요?
  고정된 16이며, x>5 같은 조건은 필요하지 않습니다.
• log₈64의 값은 얼마인가요?
  8²=64이므로 2입니다.
• 로그의 진수에 미지식이 없으면 조건을 쓰지 않나요?
  고정된 진수가 양수인지 확인한 뒤 별도 부등식을 만들지 않습니다.
• 밑이 1보다 작으면 무엇을 살펴보나요?
  정의역 x>0과 로그함수의 감소 방향을 함께 확인합니다.
• 구한 해는 어떻게 검산하나요?
  각 후보를 원래 로그식에 대입해 모든 진수가 양수이고 등식이 성립하는지 확인합니다.