월계동 중3수학과외

월계동 중3수학과외에서 살펴본 제곱근의 해 선택

월계동과외 수업에서 학교 프린트의 한 문항을 함께 확인했습니다. 문제는 x²=49를 만족하는 x를 구하는 것이었습니다. 월계중학교, 천곡중학교, 첨단중학교가 포함된 생활권에서 중3수학 문제를 풀 때도 이런 식의 짧은 문항은 계산보다 해의 범위를 정확히 읽는 일이 중요합니다.

프린트에 남은 풀이 기록

학생은 문제의 식을 읽고 다음과 같이 적었습니다.

x²=49
x=√49
x=7

√49=7이라는 계산 자체는 맞았습니다. 이어진 문항에는 x²=16, x가 음수가 아닌 수일 때라는 조건이 붙어 있었고, 학생은 이것도 똑같이 x=±4라고 적었다가 지웠습니다. 반대로 x²=25, x<0인 문항에서는 x=5라고 적은 뒤 답을 고쳤습니다. 풀이 흔적을 순서대로 살펴보니, 식의 오른쪽 수가 바뀐 것이 아니라 조건이 붙었을 때 해를 선택하는 기준에서 혼란이 생긴 상황이었습니다.

답이 틀어지기 전의 한 판단

가장 먼저 어긋난 지점은 x²=a에서 제곱근 기호를 취하면 항상 양의 값 하나만 나온다고 판단한 것입니다. x²=49에서는 7뿐 아니라 -7도 제곱하면 49가 됩니다.

(-7)²=49, 7²=49이므로 조건이 없는 x²=49의 해는 x=7과 x=-7입니다. 따라서 이 식을 풀 때는

x²=49 → x=±√49 → x=±7

처럼 써야 합니다. 여기서 중요한 경계는 식만 주어졌는지, x의 범위를 제한하는 조건이 함께 주어졌는지입니다. 조건이 없으면 두 해를 남기고, 조건이 있으면 그 조건에 맞는 해만 선택합니다.

한 줄만 바꾸어 다시 푼 과정

기존 계산을 전부 지우지 않고, 제곱근을 취하는 줄에 ±를 추가했습니다.

x²=49
x=±√49
x=±7

다음 문제 x²=16, x가 음수가 아닌 수에서는 먼저 일반적인 해를 적은 뒤 조건을 적용했습니다.

x²=16 → x=±4
x≥0이므로 x=4

반대로 x²=25, x<0에서는 x=±5까지 적고, 음수 조건을 만족하는 -5만 남겼습니다. 이미 맞게 계산한 √16=4와 √25=5는 그대로 유지하고, 달라진 부분인 부호와 조건 적용만 바로잡았습니다. 이처럼 제곱근을 취한 직후 ±를 기록하면, 양의 해만 남기는 실수를 줄일 수 있습니다.

표현을 바꾼 같은 개념 문제

이번에는 식의 모양과 조건의 위치를 바꾸어 보았습니다. 문제에는 정사각형 넓이가 36cm²이고 한 변의 길이를 xcm라고 제시되어 있었습니다. 넓이 관계로 x²=36을 얻었을 때, x의 값은 무엇인지 묻는 문제입니다. 여기서는 x가 길이이므로 음수가 될 수 없다는 조건이 그림 옆에 적혀 있습니다.

학생은 다음처럼 정리했습니다.

x²=36
x=±√36=±6
길이이므로 x=6

이번에는 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 음수가 아닌 조건이 식 아래가 아니라 도형의 ‘길이’라는 설명 속에 들어 있었습니다. 그래도 판단 기준은 같습니다. 먼저 x²=36의 두 가능성을 확인하고, 문제에 주어진 x의 조건으로 하나를 선택합니다. 조건이 없었다면 x=6과 x=-6을 모두 써야 하지만, 길이는 6cm만 가능합니다.

힌트 없이 진행한 마지막 확인

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 제시했습니다. 어떤 수 x에 대하여 x²=81이고 x≤0일 때 x를 구하여라. 학생은 곧바로 한 값을 쓰지 않고 다음과 같이 설명했습니다.

x²=81이므로 x=±√81=±9이다. 그런데 x≤0이므로 9는 조건에 맞지 않고, -9만 남는다. 실제로 (-9)²=81이므로 x=-9이다.

이 설명에는 일반적인 해를 먼저 확인하고, 조건으로 경계를 정한 뒤, 선택한 값을 직접 제곱해 검산하는 과정이 모두 들어 있습니다. 이어서 조건을 지운 x²=81도 스스로 풀어 x=±9라고 말했습니다. 제곱근을 이용해 x²=a 꼴을 풀 때의 핵심은 √a의 계산만이 아니라, ±를 빠뜨리지 않은 뒤 문제에 있는 조건으로 해를 걸러 내는 것입니다. 월계동중3수학과외에서도 이 기준을 식의 모양이 달라져도 같은 방식으로 재현할 수 있는지 확인하는 데 초점을 둡니다.