월계동 고2수학과외







점근선 앞에서 그래프의 방향을 먼저 읽기
무한점근선 그래프에서는 곡선의 높이만 보고 양쪽을 모두 +∞로 판단하면 안 된다. 월계동과외 수업에서는 먼저 수직점근선의 왼쪽과 오른쪽에서 y부호가 어떻게 달라지는지 확인한다.
오류가 시작된 장면
학생은 다음 함수의 그래프를 보고 “x가 1에 가까워질수록 양쪽 모두 위로 올라가므로 극한은 모두 +∞”라고 적었다.
f(x) = (2x + 1) / (x - 1)
이 판단은 곡선의 높이만 본 오류다. 점근선 x = 1의 좌우에서는 분모의 부호가 달라진다.
좌우에서 부호를 나누어 확인하기
왼쪽에서 접근할 때
x가 1보다 조금 작으면 2x+1은 양수이고 x−1은 음수다. 따라서 함수값은 큰 음수가 된다.
limx→1− f(x) = −∞
오른쪽에서 접근할 때
x가 1보다 조금 크면 분자와 분모가 모두 양수다. 분모가 0에 가까워지므로 함수값은 큰 양수가 된다.
limx→1+ f(x) = +∞
그래프 해석을 다른 문제에 적용하기
수직점근선의 좌우 곡선이 서로 반대 방향으로 뻗는 그래프에서는 분모의 부호 변화가 핵심이다. 반면 분자도 점근선 근처에서 부호가 바뀌는지 함께 확인해야 한다.
따라서 정답 보기를 고를 때는 “높이가 커진다”가 아니라 “왼쪽에서 어느 부호의 무한대로 가고, 오른쪽에서 어느 부호의 무한대로 가는가”를 말할 수 있어야 한다.
최종 확인
- 수직점근선: x = 1
- 왼쪽 극한: −∞
- 오른쪽 극한: +∞
- 수평점근선: y = 2
이처럼 좌우의 부호를 분리하면 새로운 분수함수 그래프에서도 무한대 방향을 정확히 판정할 수 있다.