월계동 중2수학과외

최소 조건을 일차부등식으로 읽는 순서

월계중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 신청 조건처럼 보였지만, 핵심은 계산보다 최소라는 말과 예외 조건을 부등식에 정확히 옮기는 일이었다.

문제에는 한 번의 활동 점수를 x점이라 할 때, 준비 점수 2점을 제외한 값의 3분의 1과 추가 점수 4점의 합이 10점 이상이어야 한다고 제시되어 있었다. 단, 특별 대상자는 이 조건을 적용하지 않는다는 예외도 붙어 있었다.

특별 대상자가 아닌 경우, (x-2)÷3+4가 10 이상이 되도록 하는 x의 범위를 구하여라.

식보다 먼저 멈춘 지점

학생은 먼저 ‘10 이상’에 밑줄을 긋고, 특별 대상자가 아니라는 문장에는 네모 표시를 했다. 이어서 식을 (x-2)÷3+4≥10으로 옮긴 뒤, 양변에서 4를 빼서 (x-2)÷3≥6까지는 정확하게 계산했다. 그런데 분모를 없애는 줄에서 왼쪽의 x-2에만 3을 적용하고 오른쪽 6은 그대로 두어 x-2≥6이라고 적었다.

이 한 줄이 최초의 판단 오류였다. 이후 x≥8을 얻었지만, 실제로는 3분의 1을 없애려면 부등식의 양변 전체에 같은 수를 곱해야 한다. 답이 틀렸다는 결과보다 먼저 살펴볼 부분은 ‘분모가 있는 항만 바꾸면 된다’고 선택한 순간이었다.

양변에 한 번에 적용하기

교정할 때 이미 맞았던 식 세우기와 4를 빼는 과정은 그대로 두었다. 학생은 다음 줄을 나란히 적었다.

• (x-2)÷3≥6
• 양변에 3을 곱하면 x-2≥18
• 양변에 2를 더하면 x≥20

여기서 3은 양수이므로 부등호 방향은 바뀌지 않는다. 학생은 ‘왼쪽 항만 처리하지 않고 양변 전체에 같은 연산을 한다’고 옆에 써 두었다. 또 특별 대상자는 처음부터 조건 적용 대상이 아니므로 x≥20이라는 일반 해에 억지로 포함시키지 않고, “일반 대상자는 x≥20, 특별 대상자는 별도 예외”로 구분했다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 식이 아니라 안내문과 표로 제시되었다. 기본 점수 x에서 5점을 먼저 뺀 뒤 2로 나눈 값이 7보다 작거나 같아야 하며, 특정 등급은 이 제한을 받지 않는다는 내용이었다. 학생은 문장을 바로 계산하지 않고 먼저 “특정 등급이 아닌 경우”를 표시한 다음, 조건을 (x-5)÷2≤7로 옮겼다.

이번에는 경계부터 확인했다. 양변에 2를 곱해 x-5≤14, 양변에 5를 더해 x≤19가 되며, 2가 양수이므로 부등호를 유지한다고 설명했다. 질문이 ‘가능한 x의 최솟값’이 아니라 ‘제한을 넘지 않는 최대 x’였기 때문에 경계값 19를 답으로 선택했다. 특정 등급은 표의 별도 행으로 남겨 두어 일반 조건과 섞지 않았다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

수업 끝부분에 학생은 새로운 문제를 혼자 읽었다. “수에서 1을 뺀 값을 4로 나눈 뒤 3 이상이어야 한다. 단, 면제 대상은 제외한다”는 조건이었다. 학생은 먼저 면제 대상을 제외한다고 적고, (x-1)÷4≥3을 세웠다. 이어 양변 전체에 4를 곱해 x-1≥12, 따라서 x≥13이라고 풀이했다.

학생은 경계값 13을 원식에 대입해 (13-1)÷4=3이므로 포함된다고 검산했다. 범위 안의 14도 조건을 만족하고, 경계 밖의 12는 11÷4로 3보다 작아 제외된다고 직접 확인했다. “분모를 없앨 때 양변 전체에 같은 양수를 곱했고, 최소 조건의 경계는 포함되므로 ≥를 유지했다”고 설명하면서, 과거처럼 한쪽 항만 바꾸지 않는 판단을 스스로 재현했다. 이런 식으로 월계동과외 수업에서는 계산 결과보다 최초의 선택과 예외의 위치를 함께 확인한다.