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쌍암동 고2수학과외

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최댓값을 묻는 순간, 꼭짓점의 위치부터 확인해야 한다

쌍암동과외에서 매개변수 문제를 점검할 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 계산 자체보다 임계점이 주어진 구간 안에 있는지 확인하는 일이다. 다음 함수를 보자.

문제 함수 \(f_a(x)=-x^2+2ax\)를 닫힌구간 \(0\le x\le2\)에서 생각할 때, 최댓값이 \(1\)이 되도록 하는 실수 \(a\)를 구하여라.

학생 풀이 기록에서 발견된 오류

학생은 \(f'_a(x)=-2x+2a=0\)에서 \(x=a\)를 얻은 뒤, \(a^2=1\)을 세워 \(a=1,-1\)이라고 답했다.

하지만 \(x=a\)는 항상 구간 안에 있는 점이 아니다. \(a=-1\)이면 임계점 \(x=-1\)은 구간 밖이므로, 그 점에서의 함수값 \(1\)을 최댓값으로 사용할 수 없다.

임계점과 끝점의 위치를 함께 분류하기

꼭짓점이 구간 안에 있는 경우

도함수의 영점은 \(x=a\)이다. \(0\le a\le2\)이면 꼭짓점이 구간 안에 있고, 아래로 열린 포물선이므로 최댓값은

\[ f_a(a)=-a^2+2a^2=a^2 \]

이다. 최댓값이 \(1\)이 되려면 \(a^2=1\)이므로 \(a=1\) 또는 \(a=-1\)이다. 이 중 구간 조건 \(0\le a\le2\)를 만족하는 값은 \(a=1\)뿐이다.

꼭짓점이 구간 밖에 있는 경우

\(a<0\)이면 함수는 구간에서 감소하므로 최댓값은 \(f_a(0)=0\)이다. \(a>2\)이면 함수는 구간에서 증가하므로 최댓값은 \(f_a(2)=4a-4\)이다.

\(a<0\)에서는 최댓값이 \(1\)이 될 수 없다. \(a>2\)에서는 \(4a-4=1\), 즉 \(a=\frac54\)가 나오지만 이는 \(a>2\)와 모순이므로 해당하지 않는다.

최종 검증

\(a=1\)을 대입하면

\[ f_1(x)=-x^2+2x=1-(x-1)^2 \]

이므로 \(0\le x\le2\)에서 최댓값은 \(x=1\)일 때 \(1\)이다.

정답: \(a=1\)

따라서 매개변수 문제에서는 도함수의 영점을 계산한 뒤, 그 위치가 정의된 구간 안에 있는지와 끝점값을 반드시 함께 비교해야 한다. 이 과정을 익히면 광주고3수학과외에서도 최댓값 조건을 경우 누락 없이 정리할 수 있다.

쌍암동 고2수학과외 학부모 후기

빈칸 문제를 풀던 날, 아이가 계산을 다 끝낸 뒤 답만 확인하지 않고 실수가 시작된 부분에 조그맣게 표시하더라고요. 그 표시가 있는 한 군데를 다시 살펴본 다음에는 다른 내용까지 건드리지 않고 그대로 두었어요. 어디부터 다시 봐야 하는지 자기 계산 안에서 찾는 모습이었습니다. 시험지를 파일에 넣어 보관하던 날에는 책상이 꽤 어질러져 있어서 문제집을 치우려다 여백을 보게 됐어요. 계산이 틀린 지점만 작게 표시돼 있더라고요. 예예전에는 공부를 마쳐도 다음에 확인할 흔적을 따로 남겨 두지 않았거든요. 쌍암동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 보인 변화도 이런 작은 장면이라 더 눈에 띄었어요. 표시한 곳을 다시 확인하고, 그 이상 문제집 전체를 뒤지지는 않았습니다.

★★★★★학부모 후기

교과서 복습을 하던 밤, 계산부터 하려던 아이가 문제의 조건 문장에 먼저 짧게 표시를 하더라고요. 표시한 부분을 다시 확인한 뒤 계산을 이어 갔고, 어디를 살펴봤는지도 지우지 않고 그대로 남겨 두었어요. 예예전에는 결과가 틀리면 풀이 전체를 처음부터 다시 적는 경우가 많았거든요. 주말 늦은 오후에 공부를 마친 뒤 시험지를 펼쳐 보니, 답을 바로 고치기보다 조건에만 동그라미를 치고 그 문장부터 다시 읽고 있었습니다. 그다음에 풀이를 다시 시작하는 모습이었어요. 쌍암동 수학과외를 이야기하면서도 이런 장면은 수업보다 집에서 더 눈에 들어왔는데, 이번에는 틀린 결과를 보고 무작정 처음으로 돌아가지 않았다는 점이 달랐습니다. 시험지의 동그라미와 교과서에 남은 표시가 같은 방향을 가리키고 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

쌍암동에서 과외를 시작할 때만 해도 집중이 금방 흐트러져 복습보다 진도를 빨리 나가는 데 마음이 앞섰습니다. 어느 날 숙제에서 모르는 문제가 여러 개 나오자 선생님은 틀렸다고 바로 말하지 않고 제 생각이 어디서 달라졌는지 차분히 물어보셨고, 부담 없이 수업 속도를 맞춰 주셨습니다. 그 뒤로는 궁금한 점을 먼저 꺼내고 복습도 조금씩 챙기게 되면서 수학을 대하는 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

쌍암동에서 과외를 시작할 때만 해도 수업에서 이해한 내용도 집에 오면 금방 잊어버려 복습을 거의 하지 않았습니다. 학기가 시작되고 첫 시험을 준비하면서 선생님은 학교 진도보다 앞서가려 하기보다 현재 범위를 차분히 정리하고, 제가 혼자 이어서 풀 시간을 남겨 주셨습니다. 부모님과 수업 이야기를 나눈 뒤에는 수학을 잘해야 한다는 부담보다 모르는 것을 하나씩 물어보고 해결해 보자는 마음이 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

쌍암동에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이가 수업 전 질문을 미리 정리하는 모습은 쉽게 보이지 않았습니다. 시험을 앞두고 숙제에서 막힌 문제가 많던 날, 선생님은 답을 바로 고치기보다 생각이 달라진 지점을 함께 찾고 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 주셨습니다. 요즘은 수업에서 궁금했던 내용을 먼저 꺼내는 일이 조금씩 늘어 고마웠습니다.

★★★★★학부모 후기