쌍암동 고2수학과외







최댓값을 묻는 순간, 꼭짓점의 위치부터 확인해야 한다
쌍암동과외에서 매개변수 문제를 점검할 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 계산 자체보다 임계점이 주어진 구간 안에 있는지 확인하는 일이다. 다음 함수를 보자.
문제 함수 \(f_a(x)=-x^2+2ax\)를 닫힌구간 \(0\le x\le2\)에서 생각할 때, 최댓값이 \(1\)이 되도록 하는 실수 \(a\)를 구하여라.
학생 풀이 기록에서 발견된 오류
학생은 \(f'_a(x)=-2x+2a=0\)에서 \(x=a\)를 얻은 뒤, \(a^2=1\)을 세워 \(a=1,-1\)이라고 답했다.
하지만 \(x=a\)는 항상 구간 안에 있는 점이 아니다. \(a=-1\)이면 임계점 \(x=-1\)은 구간 밖이므로, 그 점에서의 함수값 \(1\)을 최댓값으로 사용할 수 없다.
임계점과 끝점의 위치를 함께 분류하기
꼭짓점이 구간 안에 있는 경우
도함수의 영점은 \(x=a\)이다. \(0\le a\le2\)이면 꼭짓점이 구간 안에 있고, 아래로 열린 포물선이므로 최댓값은
\[ f_a(a)=-a^2+2a^2=a^2 \]
이다. 최댓값이 \(1\)이 되려면 \(a^2=1\)이므로 \(a=1\) 또는 \(a=-1\)이다. 이 중 구간 조건 \(0\le a\le2\)를 만족하는 값은 \(a=1\)뿐이다.
꼭짓점이 구간 밖에 있는 경우
\(a<0\)이면 함수는 구간에서 감소하므로 최댓값은 \(f_a(0)=0\)이다. \(a>2\)이면 함수는 구간에서 증가하므로 최댓값은 \(f_a(2)=4a-4\)이다.
\(a<0\)에서는 최댓값이 \(1\)이 될 수 없다. \(a>2\)에서는 \(4a-4=1\), 즉 \(a=\frac54\)가 나오지만 이는 \(a>2\)와 모순이므로 해당하지 않는다.
최종 검증
\(a=1\)을 대입하면
\[ f_1(x)=-x^2+2x=1-(x-1)^2 \]
이므로 \(0\le x\le2\)에서 최댓값은 \(x=1\)일 때 \(1\)이다.
정답: \(a=1\)
따라서 매개변수 문제에서는 도함수의 영점을 계산한 뒤, 그 위치가 정의된 구간 안에 있는지와 끝점값을 반드시 함께 비교해야 한다. 이 과정을 익히면 광주고3수학과외에서도 최댓값 조건을 경우 누락 없이 정리할 수 있다.