쌍암동 중2수학과외
두 식이 만나는 한 점을 끝까지 확인하는 연립방정식 풀이
쌍암동 생활권에는 광주 쌍암힐스테이트리버파크아파트와 이야기꽃도서관 인근처럼 주거와 학습 공간이 함께 있는 환경이 있다. 장덕중학교가 포함된 이 생활권의 중2수학과외 수업에서 학생은 연립방정식의 오답을 완성된 풀이의 끝이 아니라 첫 갈림길부터 거꾸로 확인했다.
정답에서 한 줄씩 거슬러 올라가기
문제는 다음과 같았다.
두 수 x, y에 대하여
2x+3y=13
4x-3y=5
를 동시에 만족하는 x, y를 구하여라.
학생은 친구의 풀이를 보고 “x=3, y=2”라고 적힌 마지막 줄부터 원래 식에 대입했다. 첫 번째 식에서는 2×3+3×2=12가 되어 13이 나오지 않았다. 두 번째 식에서는 4×3-3×2=6으로 5와도 달랐다. 학생은 곧바로 계산을 다시 하지 않고, 마지막 답에서 바로 앞 줄, 그 앞 줄을 차례로 가렸다가 다시 열었다.
친구의 풀이에는 다음과 같은 계산이 있었다.
2x+3y=13
4x-3y=5
────────
6x+0y=18
x=3
학생은 두 식을 더하면 3y와 -3y가 사라지는 것은 맞지만, 오른쪽은 13+5=18이므로 x=18÷6=3이라는 부분까지는 자연스럽다고 표시했다. 이어 x=3을 첫 번째 식에 넣어 6+3y=13, 3y=7, y=7/3이 되어야 한다는 것을 적었다. 이때 친구의 풀이가 y=2로 바뀐 줄에서 계산이 끊긴 사실을 발견했다.
최초로 어긋난 판단을 고치다
오류의 시작은 가감법 자체가 아니었다. 학생이 뒤에서 계산한 y=2를 그대로 믿고 두 원래 식에 대입하지 않은 판단이 첫 문제였다. 이미 6x=18에서 x=3을 구한 과정은 유지하고, 남은 미지수를 구한 뒤 반드시 원래 두 식에 넣는 한 단계만 덧붙였다.
학생은 노트에 “한 식으로 y를 구한 뒤, 두 식 모두 확인”이라고 적었다. x=3을 첫째 식에 대입하면 6+3y=13이므로 y=7/3이다. 이제 두 번째 식에 넣어 4×3-3×7/3=12-7=5가 되는지 확인했다. 두 식이 모두 성립하므로 (3, 7/3)은 두 식의 공통 해라고 말할 수 있었다. 한 식만 맞는 값이 아니라 두 식을 동시에 만족해야 한다는 뜻도 자신의 말로 설명했다.
표와 문장으로 바뀐 문제에 적용하기
다음 문제에서는 식이 처음부터 제시되지 않았다.
문구점에서 공책 2권과 펜 3자루의 가격은 13,000원이고, 공책 4권과 펜 3자루의 가격은 5,000원이다. 공책 한 권의 가격을 x천 원, 펜 한 자루의 가격을 y천 원이라 할 때 각각의 가격을 구하여라.
학생은 먼저 문장에서 두 물건의 가격을 x와 y로 정하고, ‘3자루’가 두 문장에 같다는 점에 동그라미를 쳤다. 표를 만들어 공책 수, 펜 수, 전체 금액을 각각 적은 뒤 2x+3y=13, 4x+3y=5로 옮겼다. 이번에는 펜 항을 없애려면 두 식을 빼야 한다고 판단했다.
(4x+3y)-(2x+3y)=5-13에서 2x=-8, x=-4가 나왔다. 학생은 음수가 나온 즉시 계산을 지우지 않고, 문제의 가격이 음수가 될 수 없다는 문장 조건을 확인했다. 두 번째 식의 금액이 첫 번째 식보다 작게 주어진 것이 원인이라고 보고, 식을 세우는 단계에서 두 번째 문장의 금액을 잘못 옮겼음을 찾아냈다. 실제 조건에 맞는 문장이 “공책 4권과 펜 3자루의 가격은 21,000원”으로 제시된 변형 문제에서는 4x+3y=21을 세웠다.
두 식을 빼면 2x=8, x=4이고, 첫째 식에 대입하면 8+3y=13이므로 y=5/3이다. 학생은 공책 4천 원, 펜 1,666…원이 아니라 단위를 다시 살폈다. 금액 조건이 정수 가격을 요구하지 않았으므로 y=5/3천 원, 즉 1,666⅔원으로 해석된다고 설명했다. 그리고 2×4+3×5/3=13, 4×4+3×5/3=21을 계산해 문장과 두 식을 함께 검산했다.
도움 없이 세운 첫 판단
수업의 끝에는 힌트를 가린 새 문제가 나왔다.
3x-2y=7
5x+2y=17일 때 x와 y를 구하고, 두 식이 같은 해를 갖는다는 것을 확인하여라.
학생은 처음 줄에 “y의 계수가 -2와 +2이므로 두 식을 더해 y를 없앤다”고 적었다. 8x=24에서 x=3을 구한 뒤, 첫 식에 넣어 9-2y=7, y=1을 얻었다. 마지막으로 두 원래 식에 각각 대입해 9-2=7, 15+2=17을 확인했다. 학생은 “두 식을 각각 만족하는 하나의 순서쌍이므로 공통 해이고, 한 식만 확인하면 다른 식에서 틀릴 가능성을 놓치므로 두 식을 모두 검산했다”고 설명했다.
이처럼 쌍암동과외 수업에서 연립방정식은 가감 계산만 빠르게 하는 단원이 아니라, 두 식의 조건을 함께 만족하는지 처음 세운 식부터 끝 검산까지 연결하는 과정으로 다뤄진다. 쌍암동중2수학과외에서도 학생의 한 줄을 그대로 지우기보다 최초 판단을 찾아 그 부분만 바로잡는 방식으로 풀이를 점검할 수 있다.