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신룡동 고2수학과외

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최종 확인에서 거꾸로 찾은 조각함수의 오류

답안에는 “각 조각이 다항함수이므로 닫힌구간 전체에서 연속이다”라고 적혀 있었다. 하지만 조각함수는 식이 바뀌는 경계점에서 별도의 확인이 필요하다. 신룡동과외 수업에서는 계산보다 먼저 경계점의 좌우극한과 함수값을 분리해 점검한다.

문제와 검증 결과

다음 함수가 구간 [0, 3]에서 연속이 되도록 하는 실수 a, b를 구하자.

f(x) = x+1 (x<1)

f(x) = ax+b (1≤x<2)

f(x) = x²+a+b (x≥2)

경계점은 x=1x=2이다. 먼저 x=1에서

lim(x→1-) f(x)=2, f(1)=a+b

이므로 a+b=2이다.

x=2에서는

lim(x→2-) f(x)=2a+b, f(2)=4+a+b

이므로 2a+b=4+a+b, 즉 a=4이다. 따라서 b=-2이다.

끝점과 경계점을 구별하기

[0,3]의 끝점인 x=0x=3에서는 구간 안쪽에서 다가가는 한쪽 극한만 확인하면 된다. 각 식이 다항식이므로 이 조건은 자동으로 만족한다.

반면 x=1x=2는 조각이 바뀌는 내부 경계점이므로 좌극한, 우극한, 함수값을 모두 비교해야 한다. 특히 x=1에서는 좌극한이 2, 우극한과 함수값이 a+b인지 따로 확인해야 한다.

오답을 고치는 기준

“다항식으로 이루어졌다”는 사실은 각 조각 내부의 연속성만 보장한다. 전체 구간의 연속성을 판단하려면 다음 순서를 따른다.

  1. 식이 바뀌는 경계점을 찾는다.
  2. 각 경계점에서 좌극한과 우극한을 계산한다.
  3. 두 극한과 함수값을 같게 놓는다.
  4. 구간의 끝점은 필요한 방향의 한쪽 극한만 확인한다.

따라서 이 문제의 정답은 a=4, b=-2이며, 이를 대입하면 두 경계점에서 조건이 모두 성립한다.

신룡동 고2수학과외 학부모 후기

문제집을 한쪽으로 밀어두려던 순간, 아이가 수업 준비물을 챙기다가 아까 풀었던 문제를 다시 펼치더라고요. 숫자 몇 개를 가린 뒤 처음 봤을 때와 같은 판단으로 풀 수 있는지 확인하고 있었습니다. 그냥 끝낸 문제로 넘길 줄 알았는데, 그 장면은 의외로 눈에 띄었어요. 예전에는 한 번 푼 자료에서 다시 볼 문제를 스스로 고르는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이날은 숫자가 그대로 보이지 않게 해놓고도 풀이의 판단이 남아 있는지 따져 보더라고요. 신룡동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 모습을 집에서 볼 수 있을까 싶었는데, 수업과는 별개로 눈에 들어온 행동이었습니다. 새로운 조건이 붙은 문제를 읽을 때도 숫자 일부를 가린 채 같은 방식으로 다시 풀어 보게 됐어요. 여러 내용을 한꺼번에 붙이지 않고, 필요한 한 부분만 남겨 확인하는 모습이 마지막까지 이어졌습니다.

★★★★★학부모 후기

교과서를 다시 펼쳐 본 날, 아이가 해설과 자기 풀이를 한참 비교하더라고요. 전부 다시 풀기보다 두 풀이가 처음 달라지는 한 줄을 먼저 찾고, 그 부분에 필요한 장면만 짧게 정리한 뒤 책을 내려놓았어요. 새 풀이 노트를 만들던 날에도 비슷한 장면을 봤습니다. 제가 먼저 묻기도 전에 해설지와 자기 풀이를 나란히 펼쳐 놓고 한 줄만 대조하고 있었거든요. 예전에는 틀린 까닭을 살피기보다 정답이 무엇이었는지를 외우려는 모습이 많았는데, 이번에는 답 자체보다 풀이가 갈라진 지점을 보고 있었습니다. 신룡동 수학과외를 찾아보던 때에는 이런 모습을 상상하기 어려웠는데, 이제는 해설지를 바로 베끼지 않고 자기 계산과 다른 부분부터 짚어 보더라고요. 교과서에는 결국 필요한 내용만 남아 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

어려운 단원을 앞두고 신룡동 수학과외를 시작했는데, 아이가 시험 전마다 문제 수만 늘리려 해 걱정이었습니다. 선생님은 문제를 많이 풀기보다 천천히 읽고 틀린 이유를 정리하도록 이끌었고, 숙제와 복습도 부담 없이 이어가게 챙겨 주셨습니다. 복습을 미루는 날에도 다음 날 다시 시작하는 모습을 보며 공부 습관이 조금씩 달라지고 있음을 느꼈습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 과제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 먼저 문제를 풀어보려는 모습이 눈에 띄었습니다. 신룡동 선생님은 막히는 부분을 그대로 지나치지 않고 차분히 다시 설명한 뒤, 그날 할 일과 다음 복습 내용을 나눠 주셨습니다. 시험기간에는 틀린 문제를 다시 펼쳐 보는 것도 예전보다 자연스러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기

신룡동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 모르는 문제를 만나면 답지부터 찾고, 질문할 문제를 따로 표시하는 것조차 부담스러워했습니다. 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 숙제와 복습량을 조절하고, 지난주에 틀린 문제도 편하게 다시 풀어 보도록 이끌어 주셨습니다. 시험기간에도 어려운 문제를 바로 피하지 않고 표시해 두었다가 물어보는 모습이 보여 안심이 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기