신룡동 고2수학과외







최종 확인에서 거꾸로 찾은 조각함수의 오류
답안에는 “각 조각이 다항함수이므로 닫힌구간 전체에서 연속이다”라고 적혀 있었다. 하지만 조각함수는 식이 바뀌는 경계점에서 별도의 확인이 필요하다. 신룡동과외 수업에서는 계산보다 먼저 경계점의 좌우극한과 함수값을 분리해 점검한다.
문제와 검증 결과
다음 함수가 구간 [0, 3]에서 연속이 되도록 하는 실수 a, b를 구하자.
f(x) = x+1 (x<1)
f(x) = ax+b (1≤x<2)
f(x) = x²+a+b (x≥2)
경계점은 x=1과 x=2이다. 먼저 x=1에서
lim(x→1-) f(x)=2, f(1)=a+b
이므로 a+b=2이다.
x=2에서는
lim(x→2-) f(x)=2a+b, f(2)=4+a+b
이므로 2a+b=4+a+b, 즉 a=4이다. 따라서 b=-2이다.
끝점과 경계점을 구별하기
[0,3]의 끝점인 x=0과 x=3에서는 구간 안쪽에서 다가가는 한쪽 극한만 확인하면 된다. 각 식이 다항식이므로 이 조건은 자동으로 만족한다.
반면 x=1과 x=2는 조각이 바뀌는 내부 경계점이므로 좌극한, 우극한, 함수값을 모두 비교해야 한다. 특히 x=1에서는 좌극한이 2, 우극한과 함수값이 a+b인지 따로 확인해야 한다.
오답을 고치는 기준
“다항식으로 이루어졌다”는 사실은 각 조각 내부의 연속성만 보장한다. 전체 구간의 연속성을 판단하려면 다음 순서를 따른다.
- 식이 바뀌는 경계점을 찾는다.
- 각 경계점에서 좌극한과 우극한을 계산한다.
- 두 극한과 함수값을 같게 놓는다.
- 구간의 끝점은 필요한 방향의 한쪽 극한만 확인한다.
따라서 이 문제의 정답은 a=4, b=-2이며, 이를 대입하면 두 경계점에서 조건이 모두 성립한다.