신룡동 중2수학과외

신룡동 중2수학과외에서 살펴본 일차부등식의 대응

신룡동과외 수업에서 학생은 답만 구하는 대신, 같은 조건이 표현을 바꾸어도 어떻게 유지되는지 확인했다.

표에서 식을 만들 때 생긴 한 줄의 오류

문제에는 “한 개에 800원인 물건을 몇 개 사고, 배송비 2,000원을 더한 금액이 6,000원 이상이 되도록 하려면 몇 개를 사야 하는가?”라는 상황이 제시되었다. 학생은 물건의 개수를 x로 표시하고, 물건값을 800x, 전체 금액을 800x+2000으로 적었다. 이어서 표에 x가 1, 2, 3일 때 전체 금액을 각각 2800원, 3600원, 4400원으로 계산했다.

그런데 “6,000원 이상”이라는 문장을 식으로 옮기는 순간 학생은 800x+2000>6000이라고 적었다. 계산 결과가 틀린 뒤에 생긴 실수가 아니라, ‘이상’이 경계값을 포함한다는 판단을 놓친 것이 최초의 어긋남이었다. 학생은 표에서 6,000원이 되는 경우도 조건에 포함되는지 따로 표시하지 않은 채, ‘넘어야 한다’는 말의 느낌만으로 열린 조건을 선택했다.

경계값을 수직선과 함께 다시 연결하기

교사는 이미 맞게 계산한 식 800x+2000을 그대로 두고, 문제의 표현만 다시 읽게 했다. “6,000원 이상”은 6,000원도 허용한다는 뜻이므로 경계값에 동그라미를 포함해야 한다고 짚었다. 학생은 식을 800x+2000≥6000으로 고친 뒤 양변에서 2000을 빼고 800으로 나누어 x≥5를 얻었다.

이때 수직선에 5를 먼저 표시하고, 5에서 오른쪽으로 화살표를 그렸다. 5를 포함하므로 점은 열린 점이 아니라 닫힌 점으로 나타냈다. 학생은 다음처럼 두 표현을 소리 내어 대조했다.

“부등식의 ≥는 5를 포함한다. 그래서 수직선에서는 5에 닫힌 점을 찍고 오른쪽을 칠한다. 만약 >였다면 5를 제외한 열린 점이어야 한다.”

마지막으로 x는 물건의 개수이므로 5 이상인 정수만 실제 선택이 된다고 덧붙였다. 경계값을 포함하는 판단, 부등호의 방향, 수직선의 점 모양이 한 관계로 이어진 것이다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음 문제는 식을 바로 주지 않고, “기본 이용료 3,000원에 시간당 1,500원이 더해지는 시설을 이용할 때 총요금이 9,000원을 넘지 않게 하려면 이용 시간은 얼마까지 가능한가?”라는 문장으로 제시했다. 학생은 이용 시간을 t로 정하고 표 대신 요금 구조를 먼저 적어 3000+1500t≤9000이라고 세웠다.

이번에는 질문이 ‘최소 얼마’가 아니라 ‘얼마까지’였고, ‘넘지 않게’라는 표현이 사용되었다. 학생은 9,000원을 포함해야 하므로 ≤를 선택했다고 설명했다. 양변에서 3000을 빼고 1500으로 나누어 t≤4를 얻은 뒤, 수직선에서 4에 닫힌 점을 찍고 왼쪽을 표시했다.

교사는 같은 관계를 그래프처럼 읽어 보게 했다. 가로축의 t가 4보다 작거나 같을 때 세로축의 요금이 9,000보다 작거나 같다는 뜻이라고 말하게 하자, 학생은 식을 그대로 외우지 않고 문장과 수직선의 방향을 서로 확인했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 끝에는 “어떤 수에 -2를 곱한 값이 10보다 작거나 같도록 하려면 그 수의 범위는?”이라는 새 문제를 제시했다. 학생은 먼저 -2x≤10을 적고, 음수로 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다는 점을 식 옆에 화살표로 표시했다. 따라서 x≥-5라고 계산했다.

학생은 곧바로 수직선에 -5의 닫힌 점과 오른쪽 화살표를 그렸다. 이어 x=-5를 원래 식에 넣으면 10≤10으로 성립하고, x=0을 넣으면 0≤10으로 성립한다고 검산했다. “경계값을 포함하는지 먼저 문장이나 부등호에서 정하고, 음수로 나눌 때 방향을 다시 확인한 다음, 경계값을 원래 식에 넣어야 한다”고 스스로 풀이 이유를 설명했다. 신룡동중2수학과외에서 확인한 변화는 정답보다도, 새로운 표현 앞에서 첫 판단과 검산 근거를 혼자 세운 장면에 있었다.