광주운남동 중3수학과외

광주운남동 중3수학과외에서 확인한 근의 공식 읽기

광주운남동과외 수업에서 학교 프린트에 나온 두 이차방정식을 비교하던 중, 학생의 계산보다 먼저 확인해야 할 부분이 드러났습니다. 금구중학교와 운남중학교가 포함된 생활권에서 볼 수 있는 문제 형식이었지만, 특정 학교의 출제 경향을 말하기보다 식을 어떻게 읽는지가 핵심이었습니다.

식의 모양이 바뀌자 계수를 놓친 순간

프린트의 첫 문제는 다음과 같았습니다.

2x²-5x-3=0을 근의 공식을 이용하여 풀어라.

학생은 식 옆에 a=2, b=-5, c=-3이라고 적었습니다. 이어서

x={-(-5)±√{(-5)²-4·2·(-3)}\over 2·2}

라고 써서 해를 계산했고, 이 부분은 바르게 진행되었습니다. 그런데 바로 아래의 문제에서 표현이 달라졌습니다.

3-7x=2x²인 방정식의 해를 구하여라.

학생은 왼쪽에 보이는 항을 기준으로 a=3, b=-7, c=2라고 표시한 뒤,

x={-(-7)±√{(-7)²-4·3·2}\over 2·3}

를 적었습니다. 이 식은 원래 방정식의 해를 구한 것이 아니므로 틀렸습니다. 단순히 계산 결과가 어긋난 것이 아니라, 근의 공식에 넣기 전 식을 ax²+bx+c=0 꼴로 읽어야 한다는 판단을 생략한 것이 최초의 오류였습니다.

계산을 다시 하기 전에 바꾼 한 가지

교정에서는 풀이 전체를 새로 바꾸지 않았습니다. 학생이 먼저 할 일은 원문에서 필요한 식만 한 줄로 정리하는 것이었습니다.

3-7x=2x² → 2x²+7x-3=0

그다음에야 계수를 읽었습니다.

a=2, b=7, c=-3

따라서 근의 공식은

x={-7±√{7²-4·2·(-3)}\over 2·2}

가 됩니다. 학생은 앞 문제에서 익힌 계산 절차를 유지하되, 이번에는 식을 표준형으로 옮긴 뒤 계수와 부호를 적었습니다. 계산하면

x={-7±√73\over4}

입니다. 여기서 중요한 교정은 여러 풀이법을 추가한 것이 아니라, 공식에 대입하기 직전에 원래 방정식을 0이 되도록 정리하는 행동 하나였습니다.

같은 기준을 다른 표현에 적용하기

다음에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 질문의 방향과 식의 배열을 바꾼 문제를 제시했습니다.

어떤 수 t가 t²-4t-1=0을 만족한다. 이때 t의 값을 근의 공식으로 나타내어라.

이번에는 ‘방정식을 풀어라’가 아니라 조건을 만족하는 값을 나타내라는 표현이었지만, 학생은 먼저 식을 살폈습니다.

t²-4t-1=0에서 a=1, b=-4, c=-1

라고 기록한 뒤

t={-(-4)±√{(-4)²-4·1·(-1)}\over2·1}

을 세웠습니다. 앞에서 보았던 2x²+7x-3=0의 배열을 그대로 외운 것이 아니라, 이번 식에서 제곱항의 계수, 일차항의 계수, 상수항을 새로 읽은 것입니다. 이 문제에서는

t=2±√5

로 정리됩니다. 계수의 부호를 식에서 직접 옮겼기 때문에 b=-4를 4로 잘못 읽지 않았습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

며칠 뒤에는 다음 문제를 아무 표시 없이 건넸습니다.

5-2y=y²+4y의 해를 구하고, 구한 두 값을 원래 식에 대입하여 확인하여라.

학생은 먼저

y²+6y-5=0

으로 바꾸고, 곧바로

a=1, b=6, c=-5

를 적었습니다. 이후

y={-6±√{6²-4·1·(-5)}\over2}

에서 y=-3±√14를 얻었습니다. 마지막에는 두 값을 원래 식에 각각 대입했습니다.

• y=-3+√14를 넣었을 때 양변이 같은 값이 됨
• y=-3-√14를 넣었을 때도 양변이 같은 값이 됨

학생은 “처음 식을 0이 되도록 정리한 뒤 읽었으므로 a는 y²의 계수 1, b는 y의 계수 6, c는 -5이다. 두 해를 원래 식에 넣어 양변이 일치하므로 부호를 바꾸어 읽은 흔적이 없다.”라고 설명했습니다. 표현이 바뀌어도 근의 공식에 들어갈 세 계수와 부호를 먼저 확인하는 기준을 스스로 재현한 장면입니다.