효자동 호남제일고등학교 수학과외
표에서 한 칸 어긋난 좌표가 거리 계산을 바꾼 장면
효자동에서 수업하던 학생은 호남제일고등학교 관련 공간 좌표 문제를 풀며, 두 점의 위치를 나타낸 표와 완성된 풀이를 역순으로 확인하고 있었다. 점 \(A(x_1,y_1,z_1)\), \(B(x_2,y_2,z_2)\) 사이의 거리가 세 좌표 차이를 이용해 계산되었다는 점은 알고 있었지만, 그 공식이 성립하려면 두 점이 같은 3차원 직교 좌표계 안에 표현되어야 한다는 조건을 말로 설명할 때는 표현이 흐릿했다.
완성된 식에서 좌표 조건을 거꾸로 추적하기
학생은 결론에 적힌 거리식을 보고 각 항이 어디에서 왔는지 되짚었다. 예를 들어 \(A(1,2,3)\), \(B(4,6,3)\)이라면
\[ AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(3-3)^2}=5 \]
가 된다. 이때 세 좌표의 차이를 각각 가로, 세로, 높이 방향의 변화로 대응시키고, 같은 좌표계에서 읽은 두 점이어야 한다는 조건을 표시했다. 다만 그래프와 표를 함께 확인하는 과정에서 \(B\)의 두 번째 좌표를 한 칸 잘못 읽어 이후의 거리값이 계속 달라졌다.
좌표를 다시 대입하지 않고 어긋난 위치 찾기
이번에는 앞서 사용한 역추적 방식을 잠시 중단했다. 학생은 두 점을 잇는 선분의 방향별 변화량을 먼저 표로 분리하고, 각 변화량의 제곱 합과 최종 거리의 제곱을 비교했다. 계산 결과 \(3^2+4^2+0^2=25\)인데 풀이의 중간값은 36으로 나타나, 거리 계산 자체보다 표에서 좌표를 옮겨 적은 줄이 문제임을 찾아냈다. 다시 읽은 \(B\)의 좌표는 두 번째 성분이 6이었고, 잘못 옮긴 값과 대조하면서 계산값이 5로 돌아오는 것을 확인했다.
표현을 바꾼 새 좌표에서도 공식 세우기
이후에는 한 조건만 유지한 새 문항을 제시했다. 한 점을 \(P(-2,1,4)\)로 고정하고, 다른 점은 표가 아니라 “\(x\)방향으로 3, \(y\)방향으로 4, \(z\)방향으로 12만큼 떨어진 점”으로 표현했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고 변화량을 직접 \(3,4,12\)로 구성해 거리를 \(\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13\)으로 구했다. 좌표의 제시 방식이 달라져도 같은 직교 좌표계에서 세 방향의 차이를 읽는다는 핵심은 유지했다.
3차원 좌표에서 두 점 사이의 거리는 같은 직교 좌표계에서 각 방향의 좌표 차이를 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취해 구한다.
마지막에는 새로운 계산을 추가로 시키기보다, 학생이 공식의 성립 조건을 스스로 점검하게 했다. 학생은 두 점이 같은 좌표계에 있어야 하고, 세 좌표 차이가 서로 수직인 방향의 변화량을 나타내야 하며, 좌표 순서를 잘못 읽으면 거리도 달라진다고 설명했다. 단순히 답을 맞힌 것이 아니라, 좌표 표현이 바뀌어도 어떤 조건을 확인해야 하는지 판단할 수 있는지까지 검증한 과정이었다.