복대동 청주고등학교 수학과외

조건을 바꾸면 분모가 달라지는 조건부확률 풀이

복대동 생활권에서 청주고등학교 수학 문제를 함께 살펴보던 중, 한 학생이 조건부확률의 계산 자체는 이어 가면서도 마지막 답을 어떻게 검산해야 할지 망설이는 장면이 있었다. 문제에는 사건 A와 B에 대해 \(P(A)=0.6\), \(P(B)=0.5\), \(P(A\cap B)=0.2\)가 주어지고, \(P(A|B)\)와 \(P(B|A)\)를 구하도록 되어 있었다.

같은 교집합을 사용하고도 답이 달라진 이유

학생은 두 확률 모두 교집합 \(P(A\cap B)\)를 이용해야 한다는 점은 알고 있었다. 그러나 처음에는 \(P(A|B)\)를 계산하면서 분모에 \(P(A)\)를 놓아 \(\frac{0.2}{0.6}=\frac13\)이라고 적었다. 실제로 이 값은 \(P(B|A)\)에 해당한다. 조건부확률에서는 앞의 사건이 구하려는 사건이고, 뒤의 사건이 분모가 되는 조건이라는 구분이 필요하다.

조건부확률 \(P(A|B)\)는 B가 일어난 경우로 범위를 좁힌 뒤 A가 함께 일어날 비율이므로 \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)이다.

따라서 이 문제에서 \(P(A|B)=\frac{0.2}{0.5}=0.4\), \(P(B|A)=\frac{0.2}{0.6}=\frac13\)이다. 학생은 계산한 값을 원래 식에 대입해 보았지만, 분모가 조건 사건의 확률이어야 한다는 점과 확률 자료 자체가 가능한지까지는 따로 확인하지 못했다. 그 결과 식에 맞지 않는 값을 답으로 남길 위험이 있었다.

원식과 확률 조건을 나누어 검사한 과정

이후에는 답을 적기 전에 두 단계로 확인했다. 먼저 \(P(A|B)\times P(B)\)가 교집합 \(P(A\cap B)\)로 돌아오는지 검사했다. \(0.4\times0.5=0.2\)이므로 첫 번째 계산은 조건에 맞았다. 다음으로 \(P(B|A)\times P(A)\)를 계산해 \(\frac13\times0.6=0.2\)인지 확인했다.

또한 교집합은 각 사건의 확률보다 클 수 없다는 조건도 함께 표시했다. \(0\le P(A\cap B)\le P(A), P(B)\)가 성립해야 하므로, 계산값만 맞춰 보는 것이 아니라 주어진 수치가 허용되는 자료인지까지 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다.

허용되지 않는 수치를 걸러 낸 독립 적용

새 문제에서는 두 자료 묶음 중 가능한 경우만 골라야 했다. 첫 번째는 \(P(A)=0.3\), \(P(B)=0.6\), \(P(A\cap B)=0.24\)였고, 두 번째는 \(P(A)=0.3\), \(P(B)=0.5\), \(P(A\cap B)=0.35\)였다.

학생은 첫 번째 자료에서 \(P(A|B)=0.24÷0.6=0.4\)로 계산한 뒤, 교집합 \(0.24\)가 두 주변확률 \(0.3, 0.6\)보다 작으므로 허용된다고 판단했다. 반면 두 번째 자료는 계산을 시작하기 전에 \(P(A\cap B)=0.35\)가 \(P(A)=0.3\)보다 크다는 사실을 찾아냈다. 따라서 조건부확률을 계산해 답으로 남길 자료가 아니라는 결론을 스스로 내렸다.

조건 하나를 없앴을 때 달라지는 결과

마지막에는 \(P(A)=0.6\), \(P(B)=0.5\), \(P(A\cap B)=0.2\)인 자료에서 B라는 조건을 제거하면 무엇이 달라지는지 설명하게 했다. B가 일어난 경우만 보는 \(P(A|B)\)는 \(0.2÷0.5=0.4\)이지만, 조건을 제거하면 전체 범위에서 A가 일어날 확률인 \(P(A)=0.6\)을 보게 된다. 학생은 조건을 붙인 확률과 조건 없이 보는 확률의 분모가 달라진다는 점을 근거로 두 결과가 달라지는 이유를 설명했다.