금천동 금천고등학교 수학과외
두 시행을 한 쌍으로 묶는 순간부터 풀이가 달라졌다
금천동에서 수학 과외를 진행하며 한 학생이 주사위와 동전을 함께 던지는 확률 문항을 풀었다. 학생은 곧바로 계산하려 했지만, 이 문제의 첫 단계는 답을 추측하는 일이 아니라 두 결과를 어떤 순서쌍으로 나타낼지 정하는 것이었다.
주사위 결과를 1부터 6까지, 동전 결과를 앞면과 뒷면으로 두면 표본점은 (주사위 결과, 동전 결과)의 형태가 된다. 예를 들어 (3, 앞면)과 (앞면, 3)은 같은 방식으로 기록한 결과가 아니다. 학생은 먼저 가능한 조합의 수를 세어 6×2=12라는 중간값을 구하고, 각 주사위 값마다 앞면과 뒷면이 하나씩 연결되는지 표로 확인했다.
12개라는 계산보다 먼저 확인한 조건
학생이 멈춘 지점은 12라는 수를 얻은 뒤였다. 모든 주사위 결과와 두 동전 결과가 실제로 허용될 때에만 이 값이 전체 표본점 수가 되는데, 처음에는 그 조건을 원래 식과 연결하지 못해 검산이 형식적으로 끝났다.
그래서 검산 기준을 먼저 적었다.
- 주사위의 6가지 결과가 빠짐없이 포함되었는가?
- 각 결과에 앞면과 뒷면이 모두 연결되었는가?
- 같은 순서쌍을 중복해서 세지 않았는가?
- 문항의 조건이 특정 결과를 제외하고 있지는 않은가?
이 기준에 따라 표본점을 하나씩 대조하면서 조건을 만족하면 ‘통과’, 빠졌거나 조건에 맞지 않으면 ‘탈락’으로 표시했다. 단순히 12를 계산하는 데서 끝나지 않고, 그 수가 성립하는 범위를 직접 판정하게 한 것이다.
중간값은 답을 대신하는 수가 아니라, 모든 순서쌍과 문제의 조건을 대조하기 위한 기준이다.
기호가 바뀐 문항에서 관계부터 다시 세우기
이후에는 주사위 결과를 다른 문자로 나타내고, 동전 결과에 새로운 조건을 붙인 문항을 제시했다. 학생은 앞 문제의 식을 그대로 옮기지 않고 먼저 “첫 번째 성분은 주사위, 두 번째 성분은 동전”이라고 정한 뒤 가능한 관계를 다시 구성했다. 그 결과 조건에 맞는 순서쌍만 따로 골라 전체 표본점과 구분할 수 있었다.
마지막에는 계산 결과를 말하는 대신, 왜 중간값이 필요한지 설명하게 했다. 학생은 중간값이 모든 순서쌍이 빠짐없이 만들어졌는지, 그리고 주어진 조건에서 그 결과가 유효한지를 확인하는 기준이라고 정리했다.