무실동 원주삼육고등학교 수학과외
좌표평면에 내린 점의 위치와 조건을 따로 읽은 풀이
원주삼육고등학교 학생과의 수업에서 공간의 점을 좌표평면에 정사영한 뒤, 그 좌표를 다음 판단의 근거로 연결하는 문제를 다루었다. 학생은 그림에서 점의 위치를 직접 표시하는 데에는 익숙했지만, 정사영 결과가 어떤 좌표평면을 기준으로 한 것인지와 바뀐 조건을 한꺼번에 처리하면서 풀이가 흔들렸다.
표시는 정확했지만 다음 조건에서 멈춘 이유
학생은 공간의 점을 좌표축 방향으로 내려 그림에 정사영점을 표시했다. 예를 들어 점을 \(P(a,b,c)\)라 할 때 \(xy\)평면 위 정사영은 \((a,b,0)\)이라고 계산했다. 여기까지는 맞았지만, 이 결과를 이용해 조건을 판정하는 단계에서 원래 점의 세 좌표와 정사영점의 좌표를 섞어 사용했다.
특히 \(xy\)평면에 내린 경우에는 \(z\)좌표가 0이 된다는 조건이 핵심인데, 학생은 정사영점의 \(x,y\)좌표는 유지된다는 사실만 사용하고 \(z=0\)이라는 제한을 다음 식에 반영하지 않았다. 그래서 계산 결과 자체는 맞아도 그 결과가 성립하는 범위를 설명하지 못했다.
유지되는 좌표와 사라지는 좌표를 두 칸으로 나누기
교정할 때는 풀이를 ‘변하지 않는 좌표’와 ‘정사영으로 인해 정해지는 좌표’로 나누어 적게 했다.
- \(xy\)평면에 정사영: \(x,y\)는 그대로 두고 \(z=0\)
- \(xz\)평면에 정사영: \(x,z\)는 그대로 두고 \(y=0\)
예를 들어 \(P(2,-1,4)\)를 \(xy\)평면에 정사영하면 \((2,-1,0)\)이고, 같은 점을 \(xz\)평면에 정사영하면 \((2,0,4)\)이다. 학생은 두 결과를 나란히 놓고 비교하면서 좌표를 임의로 바꾸는 것이 아니라, 선택한 좌표평면에 수직인 좌표만 0으로 바꾼다는 규칙을 확인했다.
정사영 좌표는 유지되는 두 좌표를 남기고, 기준이 된 좌표평면에 수직인 좌표를 0으로 만든 결과이다.
보기 없이 새 조건을 끝까지 처리한 과정
이후에는 정답 후보가 주어지지 않은 문제에서 공간의 점과 정사영할 평면의 조건을 먼저 표시하게 했다. 학생은 점 \(Q(-3,5,2)\)가 \(yz\)평면에 정사영되는 상황에서 \(x\)좌표만 0으로 두고 \((0,5,2)\)를 직접 만들었다. 이어 정사영점이 실제로 \(yz\)평면 위에 있는지 \(x=0\)을 대입해 확인하고, 원래 점의 \(y,z\)좌표가 그대로 남았는지도 검산했다.
마지막에는 \(xy\)평면과 \(xz\)평면을 각각 선택했을 때 어떤 좌표가 0이 되는지 반례가 있는지 점검했다. 좌표값을 양수와 음수로 바꾸어도 정사영 규칙은 변하지 않았고, 기준 평면에 수직인 좌표만 0이 된다는 사실이 유지되었다. 학생은 계산 결과뿐 아니라 그 결과가 해당 좌표평면 위에 놓이는 조건까지 확인하며 답을 완성했다.