관저동 동방고등학교 수학과외
동방고등학교 학생과의 수업에서 등비수열 일반항을 구하는 문제를 다뤘다. 처음부터 답을 계산하기보다, 주어진 수열이 실제로 일정한 공비를 갖는지 먼저 확인하는 데 초점을 맞췄다.
일반항을 쓰기 전, 같은 비율인지 확인한 과정
문제의 앞부분에서 몇 개의 항이 제시되자 학생은 예상한 답을 바로 적지 않고 중간 항을 계산했다. 예를 들어 첫째항이 3이고 둘째항이 6, 셋째항이 12라면 각 항의 비가 6÷3=2, 12÷6=2로 같다는 점을 먼저 확인해야 한다. 이 관계가 유지될 때에야 an=a1rn-1 꼴을 사용할 수 있다.
학생은 계산 실수 가능성은 줄였지만, 처음에는 “첫째항과 공비로 일반항을 만든다”라고만 말해 조건을 분명히 설명하지 못했다. 등차수열처럼 항의 차이가 일정한 경우와 구별하고, 인접한 항의 비가 일정해야 한다는 점을 문장으로 정리하는 연습이 필요했다.
답은 맞았지만 빠져 있던 한 줄
서술형 풀이에서는 a1=3, r=2를 이용해 an=3·2n-1이라고 결론을 냈다. 그러나 그 전에 왜 공비가 2인지 보여 주는 an+1/an=2 또는 실제 항 사이의 비를 확인하는 과정이 빠져 있었다. 결과만 적으면 주어진 수열이 등비수열이라는 판단의 근거가 드러나지 않는다.
그래서 같은 답을 앞선 계산을 그대로 반복하지 않고, 일반항에서 인접한 항의 비를 직접 구하는 방식으로 검산했다. an=3·2n-1이라 두면
an+1/an=(3·2n)/(3·2n-1)=2
가 되어 모든 인접 항의 비가 일정하다는 사실을 확인할 수 있었다.
표현을 바꾼 문제에서 조건을 다시 세운 장면
이후에는 첫째항만 같은 새 문항을 제시하고 나머지 수와 표현을 바꾸었다. 학생은 이전 식을 옮겨 적지 않고, 주어진 관계에서 첫째항과 공비를 직접 찾아 일반항을 구성했다. 예를 들어 a1=5이고 an+1=-3an라면 공비는 -3이므로 an=5(-3)n-1이라고 판단했다. 음의 공비에서도 비율이 일정하면 같은 형태를 사용할 수 있다는 점을 새 조건에서 스스로 적용한 것이다.
마지막에는 답의 모양만 확인하지 않고, 첫째항이 5인지, 공비가 -3인지, 지수가 n-1인지 차례로 점검했다. 또한 n=1을 대입해 식이 첫째항 5를 내놓는지 확인하면서 일반항의 조건과 범위를 함께 검토했다. 이제 학생은 결과를 제시하는 데서 멈추지 않고, 그 결과를 가능하게 한 항 사이의 관계까지 설명할 수 있었다.