광주북구 광주과학고등학교 수학과외







좌표축 조건을 비율식으로 바꾸는 순간
광주과학고등학교 수학 학습에서 한 학생은 여러 단계가 섞인 좌표 문제를 풀다가, 선분의 내분점이 좌표축 위에 놓인다는 조건을 언제 비율 결정에 사용해야 하는지 스스로 찾아냈다. 처음에는 관련된 식들을 화살표로 연결하며 풀이 순서를 정리했지만, 계산이 끝난 뒤 어떤 조건을 다시 확인해야 하는지는 분명하지 않았다.
계산값만 맞고 조건은 빠졌던 선택
예를 들어 A(2, 3), B(8, -1)을 잇는 선분을 점 P가 AP:PB=m:n으로 내분하고, P가 x축 위에 있다고 하자. 내분점의 y좌표는
(3n-m)/(m+n)
이므로 x축 위라는 조건에서 3n-m=0을 얻어 m:n=3:1이 된다. 학생은 이와 연결되는 후보를 선택했지만, 비슷한 후보인 1:3을 대입했을 때 y좌표가 0이 되지 않는다는 반례를 확인하지 않아 잘못된 선택지를 정답으로 확정했다.
교정할 때는 오답을 단순히 지우지 않고, 선택한 비율을 실제 내분점 식에 넣어 좌표축 조건이 유지되는지 확인하게 했다. 3:1을 대입하면 P=(6,0)이지만, 1:3에서는 y좌표가 0이 아니므로 좌표축 위 점이 될 수 없었다.
비율을 계산한 뒤에는 내분점의 해당 좌표가 좌표축의 조건을 실제로 만족하는지 대입해서 확인해야 한다.
표현이 달라진 문제에서 다시 만든 관계식
이후에는 이전 식을 그대로 복사하지 않고, A(-4,5), B(6,-1)을 잇는 선분의 내분점이 y축 위에 놓이는 새 문항을 풀었다. AP:PB=m:n이라 두면 내분점의 x좌표는
(-4n+6m)/(m+n)
이고 y축 위이므로 -4n+6m=0이다. 학생은 이 관계식에서 m:n=2:3을 직접 구한 뒤, 내분점의 y좌표가 13/3임을 계산했다. 마지막에는 구한 비율을 다시 x좌표 식에 넣어 0이 되는지 확인하면서, 비율을 정하는 조건과 좌표를 계산하는 단순 절차를 구별했다.