부개동 부개고등학교 수학과외
접선의 개수가 달라지는 경계값을 놓친 풀이
부개동에서 수학 과외를 받던 학생은 포물선 \(y=x^2\)과 한 점의 위치에 따라 그 점에서 그을 수 있는 접선의 개수를 판단하는 문제를 풀었다. 처음에는 계산 결과를 곧바로 답으로 옮기지 않고, 풀이 아래에 검산 줄을 만들어 접선의 개수를 다시 확인하려 했다.
같은 계산을 반복해도 오류가 사라지지 않았던 이유
포물선 위의 점 \((t,t^2)\)에서 그은 접선은 \(y=2tx-t^2\)이다. 외부의 점 \((a,b)\)를 이 직선에 대입하면
\(t^2-2at+b=0\)
이라는 \(t\)에 대한 이차방정식이 나온다. 따라서 판별식 \(4(a^2-b)\)의 부호로 접선의 개수를 판단해야 한다. \(a^2-b>0\)이면 두 개, \(a^2-b=0\)이면 한 개, \(a^2-b<0\)이면 실수 접선이 없다.
그런데 학생은 여백에 ‘두 접선’이라고 표시한 뒤, 검산에서도 처음 계산한 식과 판별식만 그대로 반복했다. 계산 과정에 같은 부호 판단이 다시 들어가면서, 오류가 시작된 줄을 발견하지 못한 채 같은 결론을 통과시킨 것이다.
접선의 개수는 점의 이름이나 표시가 아니라 \(a^2-b\)의 부호가 결정한다.
판별식 대신 접점의 존재 조건으로 다시 말하기
교정할 때는 계산 절차를 외우는지 확인하기 위해 판별식을 다시 계산하게 하지 않았다. 학생에게 “\(y=x^2\)의 접선이 \((a,b)\)를 지나려면 어떤 \(t\)가 존재해야 하는가?”라고 물었다.
학생은 \(b=2at-t^2\)를 \(t\)에 관한 식으로 보고, 이를 \(b=a^2-(t-a)^2\)로 바꾸었다. 이 식에서는 \(b\leq a^2\)일 때만 접점의 실수가 가능하다는 점이 드러났다. \(b<a^2\)이면 \(t\)가 두 값이고, \(b=a^2\)이면 \(t=a\) 하나이며, \(b>a^2\)이면 가능한 \(t\)가 없다고 설명했다.
새 좌표에서 접선 수와 검산 방법을 따로 선택하다
새 문제에서는 점을 \((3,7)\)로 바꾸었다. 학생은 \(a^2-b=9-7=2\)이므로 두 접선이 가능하다고 판단했다. 이번에는 판별식을 다시 쓰지 않고 \(7=6t-t^2\), 즉 \((t-3)^2=2\)로 변형해 실제 접점 매개변수가 두 개임을 확인했다.
마지막에는 조건 중 실제로 사용한 것은 점의 좌표와 \(y=x^2\)의 관계이고, 여백에 표시한 위치 메모나 이전 문제의 계산값은 판단에 필요하지 않다고 구분했다. 이어 \(b=a^2\)인 점 \((3,9)\)을 경계 사례로 대입해 \((t-3)^2=0\)이 되어 접선이 하나만 나온다는 것을 확인했다. 학생은 계산을 되풀이하지 않고도 점의 위치와 접선 수의 변화를 설명할 수 있었다.