인천 인천영흥고등학교 수학과외
일렬 배치에서 중간 계산을 답으로 착각한 장면
인천영흥고등학교 학생은 수치가 바뀐 일렬 배열 문제를 풀며 서로 다른 물건을 한 줄로 세우는 경우의 수를 계산했다. 답을 고르기 전에는 필요한 대상의 개수를 세어 \(n!\)을 적용한 확인 줄도 적었지만, 풀이 과정에서 나온 중간값을 문제의 최종 답으로 바로 선택하는 습관이 남아 있었다.
5!을 구한 뒤 멈춘 이유
예를 들어 서로 다른 5개를 일렬로 배치하는 문제에서는 첫 자리부터 선택지가 5개, 4개, 3개, 2개, 1개로 줄어들므로 전체 경우의 수는 \(5!=120\)이다. 학생은 이 계산 자체는 정확히 했지만, 문제에서 요구한 최종 판단에 이 값이 어떻게 쓰이는지 설명하지 않은 채 중간 결과를 답으로 적었다. 즉, 팩토리얼 계산과 최종 결론 사이의 연결을 생략한 것이 오류의 시작이었다.
일렬 전순열에서는 자리마다 남은 선택지를 곱한 값이 \(n!=n(n-1)\cdots1\)로 정리된다.
팩토리얼 대신 자리별 선택으로 되짚기
같은 방법을 반복하지 않기 위해 학생은 먼저 첫 자리의 선택 수를 적고, 그 뒤 각 자리에서 남는 선택지를 차례로 곱하는 방식으로 검산했다. 5개라면 \(5\times4\times3\times2\times1=120\)이 되어 \(5!\)과 일치한다. 이 과정을 통해 \(5!\)은 단순히 적어 둔 중간 숫자가 아니라 모든 자리를 채운 뒤 얻는 최종 경우의 수임을 확인했다.
조건을 바꾼 배열식까지 직접 세우기
이후에는 한 조건은 유지하고 문제의 표현을 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 이전 식을 복사하지 않고, 새로 주어진 대상의 수를 \(m\)으로 두어 가능한 배열 수를 \(m!\)로 나타낸 뒤 실제 수치를 대입했다. 예를 들어 대상이 6개라면 \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)으로 계산했다.
마지막에는 팩토리얼 표기와 자리별 곱셈을 서로 다른 경로로 비교했다. 두 결과가 같고, 모든 자리를 채운 뒤의 값이 최종 답으로 남는지 확인하면서 중간 계산을 답으로 착각하던 오류가 실제로 사라졌는지 검증했다.