인천서구 인천청라고등학교 수학과외
계산보다 먼저 확인한 미분가능성과 연속성의 방향
인천청라고등학교 학생은 함수의 조건을 식으로 옮긴 뒤 계산을 빠르게 진행하는 편이었지만, 미분가능성과 연속성의 관계가 결론에 직접 영향을 주는 문제에서 풀이가 흔들렸다. 문제의 식을 정리하면서도 어떤 조건이 주어진 사실이고, 어떤 부분이 계산으로 얻은 결과인지 구분하지 못한 것이 시작이었다.
미분계수 계산 뒤에 남은 조건 판정
학생은 연산에 들어가기 전, 문제에서 확인해야 할 관계를 별도 줄에 적었다. 한 점에서 함수가 미분가능하면 그 점에서 반드시 연속이라는 내용이었다. 그러나 실제 풀이에서는 미분계수와 함수값을 계산한 뒤 그 결과만 보고 조건이 자동으로 성립한다고 판단했다.
예를 들어 함수가 f(x)=x²이고 x=1에서 미분가능하다는 사실이 주어졌다면, 계산 결과는 연속성 판단을 뒷받침하는 근거가 된다. 하지만 계산값 자체가 포함관계를 대신하는 것은 아니다. 미분가능성에서 연속성으로 이어지는 방향을 먼저 확인해야 했다.
한 점에서 미분가능하면 그 점에서 연속이지만, 연속이라고 해서 반드시 미분가능한 것은 아니다.
필요한 정보만 남겨 관계식을 다시 세우다
교정할 때는 해설을 보지 않고 문제의 조건, 확인할 점, 결론을 각각 한 줄에 나누어 적게 했다. 불필요한 계산을 지운 뒤 “미분가능한가”, “연속이어야 하는가”, “주어진 명제가 어느 방향으로 연결되는가”를 순서대로 표시했다. 특히 f(x)=|x|는 x=0에서 연속이지만 좌우미분계수가 달라 미분가능하지 않다는 반례를 함께 확인해, 두 조건을 서로 바꾸어 쓸 수 없다는 점을 분명히 했다.
이후에는 이전 식을 그대로 따라 쓰지 않고, 조건 하나만 유지한 새 문항을 풀었다. 표현을 바꾼 함수에서 한 점의 미분가능성이 주어졌을 때 연속성을 판단하고, 반대로 연속성만 제시된 경우에는 미분가능성까지 결론 내릴 수 없는 이유를 직접 적었다. 계산 결과가 아니라 조건의 방향을 근거로 답을 구성한 점이 달라졌다.
반례로 확인한 최종 판단
마지막에는 선택지 없이 “연속이지만 미분가능하지 않은 함수”를 직접 제시하게 했다. 학생은 f(x)=|x|를 들고, x=0에서 함수값과 좌우극한은 같지만 좌우미분계수가 각각 -1과 1이라 미분가능하지 않다고 설명했다. 이를 통해 미분가능성에서 연속성으로 가는 포함관계와 그 역이 성립하지 않는다는 점을 계산 결과와 구별해 검증했다.